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Theorem 2pwp1prm 41268
Description: For every prime number of the form ((2↑𝑘) + 1) 𝑘 must be a power of 2, see Wikipedia "Fermat number", section "Other theorms about Fermat numbers", https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number, 5-Aug-2021. (Contributed by AV, 7-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
2pwp1prm ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))
Distinct variable group:   𝑛,𝐾

Proof of Theorem 2pwp1prm
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oddprmdvds 15588 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝𝐾)
21adantlr 750 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝𝐾)
3 eldifi 3724 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑝 ∈ ℙ)
4 prmnn 15369 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑝 ∈ ℕ)
6 simpl 473 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) → 𝐾 ∈ ℕ)
7 nndivides 14971 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑝𝐾 ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾))
85, 6, 7syl2anr 495 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑝𝐾 ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾))
9 2re 11075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℝ
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
11 nnnn0 11284 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℕ0)
12 1le2 11226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ≤ 2
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℕ → 1 ≤ 2)
1410, 11, 13expge1d 13010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℕ → 1 ≤ (2↑𝑚))
15 1zzd 11393 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
16 2nn 11170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℕ
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑚 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
1817, 11nnexpcld 13013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑚 ∈ ℕ → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
1918nnzd 11466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℕ → (2↑𝑚) ∈ ℤ)
20 zleltp1 11413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑚) ∈ ℤ) → (1 ≤ (2↑𝑚) ↔ 1 < ((2↑𝑚) + 1)))
2115, 19, 20syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℕ → (1 ≤ (2↑𝑚) ↔ 1 < ((2↑𝑚) + 1)))
2214, 21mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ℕ → 1 < ((2↑𝑚) + 1))
2318nncnd 11021 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℕ → (2↑𝑚) ∈ ℂ)
24 1cnd 10041 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
25 subneg 10315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2↑𝑚) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2↑𝑚) − -1) = ((2↑𝑚) + 1))
2625breq2d 4656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2↑𝑚) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (1 < ((2↑𝑚) − -1) ↔ 1 < ((2↑𝑚) + 1)))
2723, 24, 26syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ℕ → (1 < ((2↑𝑚) − -1) ↔ 1 < ((2↑𝑚) + 1)))
2822, 27mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ → 1 < ((2↑𝑚) − -1))
2928adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 < ((2↑𝑚) − -1))
3029ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → 1 < ((2↑𝑚) − -1))
3118nnred 11020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℕ → (2↑𝑚) ∈ ℝ)
3231adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑𝑚) ∈ ℝ)
3316a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ)
3411adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ0)
355nnnn0d 11336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑝 ∈ ℕ0)
3635adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℕ0)
3734, 36nn0mulcld 11341 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 · 𝑝) ∈ ℕ0)
3833, 37nnexpcld 13013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑(𝑚 · 𝑝)) ∈ ℕ)
3938nnred 11020 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑(𝑚 · 𝑝)) ∈ ℝ)
40 1red 10040 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
419a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
42 nnz 11384 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
4342adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℤ)
445nnzd 11466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑝 ∈ ℤ)
4544adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℤ)
4643, 45zmulcld 11473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 · 𝑝) ∈ ℤ)
47 1lt2 11179 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 < 2
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 < 2)
49 prmgt1 15390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 ∈ ℙ → 1 < 𝑝)
503, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 1 < 𝑝)
5150adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 < 𝑝)
52 nnre 11012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
5352adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ)
545nnred 11020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑝 ∈ ℝ)
5554adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℝ)
56 nngt0 11034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑚 ∈ ℕ → 0 < 𝑚)
5756adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 0 < 𝑚)
58 ltmulgt11 10868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑚) → (1 < 𝑝𝑚 < (𝑚 · 𝑝)))
5953, 55, 57, 58syl3anc 1324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1 < 𝑝𝑚 < (𝑚 · 𝑝)))
6051, 59mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 < (𝑚 · 𝑝))
61 ltexp2a 12895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 · 𝑝) ∈ ℤ) ∧ (1 < 2 ∧ 𝑚 < (𝑚 · 𝑝))) → (2↑𝑚) < (2↑(𝑚 · 𝑝)))
6241, 43, 46, 48, 60, 61syl32anc 1332 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑𝑚) < (2↑(𝑚 · 𝑝)))
6332, 39, 40, 62ltadd1dd 10623 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((2↑𝑚) + 1) < ((2↑(𝑚 · 𝑝)) + 1))
6463ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝑚) + 1) < ((2↑(𝑚 · 𝑝)) + 1))
6523, 24subnegd 10384 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℕ → ((2↑𝑚) − -1) = ((2↑𝑚) + 1))
6665eqcomd 2626 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ℕ → ((2↑𝑚) + 1) = ((2↑𝑚) − -1))
6766adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((2↑𝑚) + 1) = ((2↑𝑚) − -1))
6867ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝑚) + 1) = ((2↑𝑚) − -1))
69 oveq2 6643 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → (2↑(𝑚 · 𝑝)) = (2↑𝐾))
7069oveq1d 6650 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → ((2↑(𝑚 · 𝑝)) + 1) = ((2↑𝐾) + 1))
7170adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑(𝑚 · 𝑝)) + 1) = ((2↑𝐾) + 1))
7264, 68, 713brtr3d 4675 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝑚) − -1) < ((2↑𝐾) + 1))
73 neg1z 11398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -1 ∈ ℤ
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑚 ∈ ℕ → -1 ∈ ℤ)
7519, 74zsubcld 11472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℕ → ((2↑𝑚) − -1) ∈ ℤ)
7675adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((2↑𝑚) − -1) ∈ ℤ)
77 fzofi 12756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0..^𝑝) ∈ Fin
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (0..^𝑝) ∈ Fin)
7919adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑𝑚) ∈ ℤ)
80 elfzonn0 12496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (0..^𝑝) → 𝑘 ∈ ℕ0)
81 zexpcl 12858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((2↑𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑚)↑𝑘) ∈ ℤ)
8279, 80, 81syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑝)) → ((2↑𝑚)↑𝑘) ∈ ℤ)
8373a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑝)) → -1 ∈ ℤ)
84 fzonnsub 12477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ (0..^𝑝) → (𝑝𝑘) ∈ ℕ)
8584adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑝)) → (𝑝𝑘) ∈ ℕ)
86 nnm1nn0 11319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑝𝑘) ∈ ℕ → ((𝑝𝑘) − 1) ∈ ℕ0)
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑝)) → ((𝑝𝑘) − 1) ∈ ℕ0)
88 zexpcl 12858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-1 ∈ ℤ ∧ ((𝑝𝑘) − 1) ∈ ℕ0) → (-1↑((𝑝𝑘) − 1)) ∈ ℤ)
8983, 87, 88syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑝)) → (-1↑((𝑝𝑘) − 1)) ∈ ℤ)
9082, 89zmulcld 11473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑝)) → (((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝𝑘) − 1))) ∈ ℤ)
9178, 90fsumzcl 14447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝𝑘) − 1))) ∈ ℤ)
92 dvdsmul1 14984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((2↑𝑚) − -1) ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝𝑘) − 1))) ∈ ℤ) → ((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚) − -1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝𝑘) − 1)))))
9376, 91, 92syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚) − -1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝𝑘) − 1)))))
9493ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚) − -1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝𝑘) − 1)))))
9523adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑𝑚) ∈ ℂ)
96 neg1cn 11109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -1 ∈ ℂ
9796a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → -1 ∈ ℂ)
98 pwdif 41266 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ ℕ0 ∧ (2↑𝑚) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝)) = (((2↑𝑚) − -1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝𝑘) − 1)))))
9936, 95, 97, 98syl3anc 1324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝)) = (((2↑𝑚) − -1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝𝑘) − 1)))))
10099breq2d 4656 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝)) ↔ ((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚) − -1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝𝑘) − 1))))))
101100ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → (((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝)) ↔ ((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚) − -1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝𝑘) − 1))))))
10294, 101mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝)))
103 2cnd 11078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐾 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
104 nnnn0 11284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
105103, 104expcld 12991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐾 ∈ ℕ → (2↑𝐾) ∈ ℂ)
106 1cnd 10041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐾 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
107105, 106subnegd 10384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐾 ∈ ℕ → ((2↑𝐾) − -1) = ((2↑𝐾) + 1))
108107eqcomd 2626 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ ℕ → ((2↑𝐾) + 1) = ((2↑𝐾) − -1))
109108adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → ((2↑𝐾) + 1) = ((2↑𝐾) − -1))
110109adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝐾) + 1) = ((2↑𝐾) − -1))
111 oveq2 6643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐾 = (𝑚 · 𝑝) → (2↑𝐾) = (2↑(𝑚 · 𝑝)))
112111eqcoms 2628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → (2↑𝐾) = (2↑(𝑚 · 𝑝)))
113112adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → (2↑𝐾) = (2↑(𝑚 · 𝑝)))
114 2cnd 11078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
115114, 36, 34expmuld 12994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑(𝑚 · 𝑝)) = ((2↑𝑚)↑𝑝))
116115ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → (2↑(𝑚 · 𝑝)) = ((2↑𝑚)↑𝑝))
117113, 116eqtrd 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → (2↑𝐾) = ((2↑𝑚)↑𝑝))
118 1exp 12872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑝 ∈ ℤ → (1↑𝑝) = 1)
11944, 118syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (1↑𝑝) = 1)
120119eqcomd 2626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 1 = (1↑𝑝))
121120negeqd 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → -1 = -(1↑𝑝))
122 1cnd 10041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 1 ∈ ℂ)
123 oddn2prm 15498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 ∥ 𝑝)
124 oexpneg 15050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑝) → (-1↑𝑝) = -(1↑𝑝))
125122, 5, 123, 124syl3anc 1324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (-1↑𝑝) = -(1↑𝑝))
126125eqcomd 2626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → -(1↑𝑝) = (-1↑𝑝))
127121, 126eqtrd 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → -1 = (-1↑𝑝))
128127adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → -1 = (-1↑𝑝))
129128ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → -1 = (-1↑𝑝))
130117, 129oveq12d 6653 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝐾) − -1) = (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝)))
131110, 130eqtrd 2654 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝐾) + 1) = (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝)))
132131breq2d 4656 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → (((2↑𝑚) − -1) ∥ ((2↑𝐾) + 1) ↔ ((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝))))
133102, 132mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝑚) − -1) ∥ ((2↑𝐾) + 1))
13430, 72, 133dvdsnprmd 15384 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ¬ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ)
135134pm2.21d 118 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → (((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)))
136135ex 450 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → ((𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → (((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))))
137136com23 86 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ → ((𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))))
138137impancom 456 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))))
139138impl 649 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)))
140139rexlimdva 3027 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)))
1418, 140sylbid 230 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑝𝐾 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)))
142141rexlimdva 3027 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) → (∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝𝐾 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)))
143142adantr 481 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)) → (∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝𝐾 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)))
1442, 143mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))
145144pm2.18da 459 1 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wrex 2910  cdif 3564  {csn 4168   class class class wbr 4644  (class class class)co 6635  Fincfn 7940  cc 9919  cr 9920  0cc0 9921  1c1 9922   + caddc 9924   · cmul 9926   < clt 10059  cle 10060  cmin 10251  -cneg 10252  cn 11005  2c2 11055  0cn0 11277  cz 11362  ..^cfzo 12449  cexp 12843  Σcsu 14397  cdvds 14964  cprime 15366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-fl 12576  df-mod 12652  df-seq 12785  df-exp 12844  df-hash 13101  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-clim 14200  df-sum 14398  df-dvds 14965  df-gcd 15198  df-prm 15367  df-pc 15523
This theorem is referenced by:  2pwp1prmfmtno  41269
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