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Theorem 2pwp1prm 42031
Description: For every prime number of the form ((2↑𝑘) + 1) 𝑘 must be a power of 2, see Wikipedia "Fermat number", section "Other theorms about Fermat numbers", https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number, 5-Aug-2021. (Contributed by AV, 7-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
2pwp1prm ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))
Distinct variable group:   𝑛,𝐾

Proof of Theorem 2pwp1prm
Dummy variables 𝑚 𝑝 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oddprmdvds 15814 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝𝐾)
21adantlr 694 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝𝐾)
3 eldifi 3883 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑝 ∈ ℙ)
4 prmnn 15595 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑝 ∈ ℕ)
6 simpl 468 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) → 𝐾 ∈ ℕ)
7 nndivides 15199 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑝𝐾 ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾))
85, 6, 7syl2anr 584 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑝𝐾 ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾))
9 2re 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℝ
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
11 nnnn0 11501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℕ0)
12 1le2 11443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ≤ 2
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℕ → 1 ≤ 2)
1410, 11, 13expge1d 13234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℕ → 1 ≤ (2↑𝑚))
15 1zzd 11610 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
16 2nn 11387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℕ
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑚 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
1817, 11nnexpcld 13237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑚 ∈ ℕ → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
1918nnzd 11683 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℕ → (2↑𝑚) ∈ ℤ)
20 zleltp1 11630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑚) ∈ ℤ) → (1 ≤ (2↑𝑚) ↔ 1 < ((2↑𝑚) + 1)))
2115, 19, 20syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℕ → (1 ≤ (2↑𝑚) ↔ 1 < ((2↑𝑚) + 1)))
2214, 21mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ℕ → 1 < ((2↑𝑚) + 1))
2318nncnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℕ → (2↑𝑚) ∈ ℂ)
24 1cnd 10258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
25 subneg 10532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2↑𝑚) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2↑𝑚) − -1) = ((2↑𝑚) + 1))
2625breq2d 4798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2↑𝑚) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (1 < ((2↑𝑚) − -1) ↔ 1 < ((2↑𝑚) + 1)))
2723, 24, 26syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ℕ → (1 < ((2↑𝑚) − -1) ↔ 1 < ((2↑𝑚) + 1)))
2822, 27mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ → 1 < ((2↑𝑚) − -1))
2928adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 < ((2↑𝑚) − -1))
3029ad2antlr 706 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → 1 < ((2↑𝑚) − -1))
3118nnred 11237 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℕ → (2↑𝑚) ∈ ℝ)
3231adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑𝑚) ∈ ℝ)
3316a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ)
3411adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ0)
355nnnn0d 11553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑝 ∈ ℕ0)
3635adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℕ0)
3734, 36nn0mulcld 11558 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 · 𝑝) ∈ ℕ0)
3833, 37nnexpcld 13237 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑(𝑚 · 𝑝)) ∈ ℕ)
3938nnred 11237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑(𝑚 · 𝑝)) ∈ ℝ)
40 1red 10257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
419a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
42 nnz 11601 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
4342adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℤ)
445nnzd 11683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑝 ∈ ℤ)
4544adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℤ)
4643, 45zmulcld 11690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 · 𝑝) ∈ ℤ)
47 1lt2 11396 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 < 2
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 < 2)
49 prmgt1 15616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 ∈ ℙ → 1 < 𝑝)
503, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 1 < 𝑝)
5150adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 < 𝑝)
52 nnre 11229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
5352adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ)
545nnred 11237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑝 ∈ ℝ)
5554adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℝ)
56 nngt0 11251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑚 ∈ ℕ → 0 < 𝑚)
5756adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 0 < 𝑚)
58 ltmulgt11 11085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑚) → (1 < 𝑝𝑚 < (𝑚 · 𝑝)))
5953, 55, 57, 58syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1 < 𝑝𝑚 < (𝑚 · 𝑝)))
6051, 59mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 < (𝑚 · 𝑝))
61 ltexp2a 13119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 · 𝑝) ∈ ℤ) ∧ (1 < 2 ∧ 𝑚 < (𝑚 · 𝑝))) → (2↑𝑚) < (2↑(𝑚 · 𝑝)))
6241, 43, 46, 48, 60, 61syl32anc 1484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑𝑚) < (2↑(𝑚 · 𝑝)))
6332, 39, 40, 62ltadd1dd 10840 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((2↑𝑚) + 1) < ((2↑(𝑚 · 𝑝)) + 1))
6463ad2antlr 706 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝑚) + 1) < ((2↑(𝑚 · 𝑝)) + 1))
6523, 24subnegd 10601 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℕ → ((2↑𝑚) − -1) = ((2↑𝑚) + 1))
6665eqcomd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ℕ → ((2↑𝑚) + 1) = ((2↑𝑚) − -1))
6766adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((2↑𝑚) + 1) = ((2↑𝑚) − -1))
6867ad2antlr 706 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝑚) + 1) = ((2↑𝑚) − -1))
69 oveq2 6801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → (2↑(𝑚 · 𝑝)) = (2↑𝐾))
7069oveq1d 6808 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → ((2↑(𝑚 · 𝑝)) + 1) = ((2↑𝐾) + 1))
7170adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑(𝑚 · 𝑝)) + 1) = ((2↑𝐾) + 1))
7264, 68, 713brtr3d 4817 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝑚) − -1) < ((2↑𝐾) + 1))
73 neg1z 11615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -1 ∈ ℤ
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑚 ∈ ℕ → -1 ∈ ℤ)
7519, 74zsubcld 11689 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℕ → ((2↑𝑚) − -1) ∈ ℤ)
7675adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((2↑𝑚) − -1) ∈ ℤ)
77 fzofi 12981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0..^𝑝) ∈ Fin
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (0..^𝑝) ∈ Fin)
7919adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑𝑚) ∈ ℤ)
80 elfzonn0 12721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (0..^𝑝) → 𝑘 ∈ ℕ0)
81 zexpcl 13082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((2↑𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑚)↑𝑘) ∈ ℤ)
8279, 80, 81syl2an 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑝)) → ((2↑𝑚)↑𝑘) ∈ ℤ)
8373a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑝)) → -1 ∈ ℤ)
84 fzonnsub 12701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ (0..^𝑝) → (𝑝𝑘) ∈ ℕ)
8584adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑝)) → (𝑝𝑘) ∈ ℕ)
86 nnm1nn0 11536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑝𝑘) ∈ ℕ → ((𝑝𝑘) − 1) ∈ ℕ0)
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑝)) → ((𝑝𝑘) − 1) ∈ ℕ0)
88 zexpcl 13082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-1 ∈ ℤ ∧ ((𝑝𝑘) − 1) ∈ ℕ0) → (-1↑((𝑝𝑘) − 1)) ∈ ℤ)
8983, 87, 88syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑝)) → (-1↑((𝑝𝑘) − 1)) ∈ ℤ)
9082, 89zmulcld 11690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑝)) → (((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝𝑘) − 1))) ∈ ℤ)
9178, 90fsumzcl 14674 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝𝑘) − 1))) ∈ ℤ)
92 dvdsmul1 15212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((2↑𝑚) − -1) ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝𝑘) − 1))) ∈ ℤ) → ((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚) − -1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝𝑘) − 1)))))
9376, 91, 92syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚) − -1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝𝑘) − 1)))))
9493ad2antlr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚) − -1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝𝑘) − 1)))))
9523adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑𝑚) ∈ ℂ)
96 neg1cn 11326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -1 ∈ ℂ
9796a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → -1 ∈ ℂ)
98 pwdif 42029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ ℕ0 ∧ (2↑𝑚) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝)) = (((2↑𝑚) − -1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝𝑘) − 1)))))
9936, 95, 97, 98syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝)) = (((2↑𝑚) − -1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝𝑘) − 1)))))
10099breq2d 4798 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝)) ↔ ((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚) − -1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝𝑘) − 1))))))
101100ad2antlr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → (((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝)) ↔ ((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚) − -1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝𝑘) − 1))))))
10294, 101mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝)))
103 2cnd 11295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐾 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
104 nnnn0 11501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
105103, 104expcld 13215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐾 ∈ ℕ → (2↑𝐾) ∈ ℂ)
106 1cnd 10258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐾 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
107105, 106subnegd 10601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐾 ∈ ℕ → ((2↑𝐾) − -1) = ((2↑𝐾) + 1))
108107eqcomd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ ℕ → ((2↑𝐾) + 1) = ((2↑𝐾) − -1))
109108adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → ((2↑𝐾) + 1) = ((2↑𝐾) − -1))
110109adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝐾) + 1) = ((2↑𝐾) − -1))
111 oveq2 6801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐾 = (𝑚 · 𝑝) → (2↑𝐾) = (2↑(𝑚 · 𝑝)))
112111eqcoms 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → (2↑𝐾) = (2↑(𝑚 · 𝑝)))
113112adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → (2↑𝐾) = (2↑(𝑚 · 𝑝)))
114 2cnd 11295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
115114, 36, 34expmuld 13218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑(𝑚 · 𝑝)) = ((2↑𝑚)↑𝑝))
116115ad2antlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → (2↑(𝑚 · 𝑝)) = ((2↑𝑚)↑𝑝))
117113, 116eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → (2↑𝐾) = ((2↑𝑚)↑𝑝))
118 1exp 13096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑝 ∈ ℤ → (1↑𝑝) = 1)
11944, 118syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (1↑𝑝) = 1)
120119eqcomd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 1 = (1↑𝑝))
121120negeqd 10477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → -1 = -(1↑𝑝))
122 1cnd 10258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 1 ∈ ℂ)
123 oddn2prm 15724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 ∥ 𝑝)
124 oexpneg 15277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑝) → (-1↑𝑝) = -(1↑𝑝))
125122, 5, 123, 124syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (-1↑𝑝) = -(1↑𝑝))
126125eqcomd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → -(1↑𝑝) = (-1↑𝑝))
127121, 126eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → -1 = (-1↑𝑝))
128127adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → -1 = (-1↑𝑝))
129128ad2antlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → -1 = (-1↑𝑝))
130117, 129oveq12d 6811 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝐾) − -1) = (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝)))
131110, 130eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝐾) + 1) = (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝)))
132131breq2d 4798 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → (((2↑𝑚) − -1) ∥ ((2↑𝐾) + 1) ↔ ((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝))))
133102, 132mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝑚) − -1) ∥ ((2↑𝐾) + 1))
13430, 72, 133dvdsnprmd 15610 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ¬ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ)
135134pm2.21d 119 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → (((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)))
136135ex 397 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → ((𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → (((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))))
137136com23 86 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ → ((𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))))
138137impancom 439 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))))
139138impl 443 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)))
140139rexlimdva 3179 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)))
1418, 140sylbid 230 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑝𝐾 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)))
142141rexlimdva 3179 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) → (∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝𝐾 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)))
143142adantr 466 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)) → (∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝𝐾 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)))
1442, 143mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))
145144pm2.18da 801 1 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wrex 3062  cdif 3720  {csn 4316   class class class wbr 4786  (class class class)co 6793  Fincfn 8109  cc 10136  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143   < clt 10276  cle 10277  cmin 10468  -cneg 10469  cn 11222  2c2 11272  0cn0 11494  cz 11579  ..^cfzo 12673  cexp 13067  Σcsu 14624  cdvds 15189  cprime 15592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-dvds 15190  df-gcd 15425  df-prm 15593  df-pc 15749
This theorem is referenced by:  2pwp1prmfmtno  42032
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