Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2pthfrgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2pthfrgr 27438
 Description: Between any two (different) vertices in a friendship graph, tere is a 2-path (simple path of length 2), see Proposition 1(b) of [MertziosUnger] p. 153 : "A friendship graph G ..., as well as the distance between any two nodes in G is at most two". (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.) (Revised by AV, 1-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2pthfrgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
2pthfrgr (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑎𝑉𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑓𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
Distinct variable groups:   𝐺,𝑎,𝑏,𝑓,𝑝   𝑉,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem 2pthfrgr
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2pthfrgr.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 eqid 2760 . . 3 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
31, 22pthfrgrrn2 27437 . 2 (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑎𝑉𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑚𝑉 (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎𝑚𝑚𝑏)))
4 frgrusgr 27414 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
5 usgruhgr 26277 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
76adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) → 𝐺 ∈ UHGraph)
87adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → 𝐺 ∈ UHGraph)
98adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) → 𝐺 ∈ UHGraph)
10 simpllr 817 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) → 𝑎𝑉)
11 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) → 𝑚𝑉)
12 eldifi 3875 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) → 𝑏𝑉)
1312ad2antlr 765 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) → 𝑏𝑉)
1410, 11, 133jca 1123 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) → (𝑎𝑉𝑚𝑉𝑏𝑉))
159, 14jca 555 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝑎𝑉𝑚𝑉𝑏𝑉)))
1615adantr 472 . . . . . . 7 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) ∧ (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎𝑚𝑚𝑏))) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝑎𝑉𝑚𝑉𝑏𝑉)))
17 simprrl 823 . . . . . . 7 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) ∧ (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎𝑚𝑚𝑏))) → 𝑎𝑚)
18 eldifsn 4462 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) ↔ (𝑏𝑉𝑏𝑎))
19 necom 2985 . . . . . . . . . 10 (𝑏𝑎𝑎𝑏)
2019biimpi 206 . . . . . . . . 9 (𝑏𝑎𝑎𝑏)
2118, 20simplbiim 661 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) → 𝑎𝑏)
2221ad3antlr 769 . . . . . . 7 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) ∧ (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎𝑚𝑚𝑏))) → 𝑎𝑏)
23 simprrr 824 . . . . . . 7 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) ∧ (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎𝑚𝑚𝑏))) → 𝑚𝑏)
24 simprl 811 . . . . . . 7 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) ∧ (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎𝑚𝑚𝑏))) → ({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)))
251, 22pthon3v 27063 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝑎𝑉𝑚𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑎𝑚𝑎𝑏𝑚𝑏) ∧ ({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑓𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
2616, 17, 22, 23, 24, 25syl131anc 1490 . . . . . 6 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) ∧ (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎𝑚𝑚𝑏))) → ∃𝑓𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
2726ex 449 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) → ((({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎𝑚𝑚𝑏)) → ∃𝑓𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
2827rexlimdva 3169 . . . 4 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → (∃𝑚𝑉 (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎𝑚𝑚𝑏)) → ∃𝑓𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
2928ralimdva 3100 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) → (∀𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑚𝑉 (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎𝑚𝑚𝑏)) → ∀𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑓𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
3029ralimdva 3100 . 2 (𝐺 ∈ FriendGraph → (∀𝑎𝑉𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑚𝑉 (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎𝑚𝑚𝑏)) → ∀𝑎𝑉𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑓𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
313, 30mpd 15 1 (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑎𝑉𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑓𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632  ∃wex 1853   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∀wral 3050  ∃wrex 3051   ∖ cdif 3712  {csn 4321  {cpr 4323   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  2c2 11262  ♯chash 13311  Vtxcvtx 26073  Edgcedg 26138  UHGraphcuhgr 26150  USGraphcusgr 26243  SPathsOncspthson 26821   FriendGraph cfrgr 27410 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1051  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-hash 13312  df-word 13485  df-concat 13487  df-s1 13488  df-s2 13793  df-s3 13794  df-edg 26139  df-uhgr 26152  df-upgr 26176  df-umgr 26177  df-uspgr 26244  df-usgr 26245  df-wlks 26705  df-wlkson 26706  df-trls 26799  df-trlson 26800  df-pths 26822  df-spths 26823  df-spthson 26825  df-frgr 27411 This theorem is referenced by:  frgrconngr  27448
 Copyright terms: Public domain W3C validator