MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2prm 15452
Description: 2 is a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 16-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
2prm 2 ∈ ℙ

Proof of Theorem 2prm
StepHypRef Expression
1 2z 11447 . . 3 2 ∈ ℤ
2 1lt2 11232 . . 3 1 < 2
3 eluz2b1 11797 . . 3 (2 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 1 < 2))
41, 2, 3mpbir2an 975 . 2 2 ∈ (ℤ‘2)
5 ral0 4109 . . 3 𝑧 ∈ ∅ ¬ 𝑧 ∥ 2
6 fzssuz 12420 . . . . . 6 (2...(2 − 1)) ⊆ (ℤ‘2)
7 df-ss 3621 . . . . . 6 ((2...(2 − 1)) ⊆ (ℤ‘2) ↔ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ‘2)) = (2...(2 − 1)))
86, 7mpbi 220 . . . . 5 ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ‘2)) = (2...(2 − 1))
9 uzdisj 12451 . . . . 5 ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ‘2)) = ∅
108, 9eqtr3i 2675 . . . 4 (2...(2 − 1)) = ∅
1110raleqi 3172 . . 3 (∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2 ↔ ∀𝑧 ∈ ∅ ¬ 𝑧 ∥ 2)
125, 11mpbir 221 . 2 𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2
13 isprm3 15443 . 2 (2 ∈ ℙ ↔ (2 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2))
144, 12, 13mpbir2an 975 1 2 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  cin 3606  wss 3607  c0 3948   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  1c1 9975   < clt 10112  cmin 10304  2c2 11108  cz 11415  cuz 11725  ...cfz 12364  cdvds 15027  cprime 15432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028  df-prm 15433
This theorem is referenced by:  isoddgcd1  15486  3lcm2e6  15487  pythagtriplem4  15571  pc2dvds  15630  oddprmdvds  15654  prmo2  15791  prmgaplem3  15804  lt6abl  18342  ppi2  24941  cht2  24943  1sgm2ppw  24970  perfectlem1  24999  perfectlem2  25000  perfect  25001  bpos1  25053  lgs2  25084  lgsdir2  25100  lgseisenlem2  25146  lgsquad2lem1  25154  lgsquad2lem2  25155  lgsquad3  25157  m1lgs  25158  2lgs  25177  2lgsoddprm  25186  dchrisum0flb  25244  numclwwlk5lem  27374  hgt750lemd  30854  goldbachthlem2  41783  odz2prm2pw  41800  fmtnoprmfac1  41802  fmtnoprmfac2  41804  lighneallem2  41848  lighneallem3  41849  lighneallem4  41852  proththd  41856  isodd7  41902  perfectALTV  41957  7gbow  41985  sbgoldbalt  41994  sgoldbeven3prm  41996  sbgoldbo  42000  nnsum3primes4  42001  nnsum3primesle9  42007  zlmodzxznm  42611
  Copyright terms: Public domain W3C validator