Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2polatN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2polatN 35740
Description: Double polarity of the singleton of an atom (i.e. a point). (Contributed by NM, 25-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2polat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polat.p 𝑃 = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
2polatN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → (𝑃‘(𝑃‘{𝑄})) = {𝑄})

Proof of Theorem 2polatN
StepHypRef Expression
1 hlol 35170 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
2 eqid 2771 . . . . 5 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3 2polat.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 eqid 2771 . . . . 5 (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
5 2polat.p . . . . 5 𝑃 = (⊥𝑃𝐾)
62, 3, 4, 5polatN 35739 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑄𝐴) → (𝑃‘{𝑄}) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄)))
71, 6sylan 569 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → (𝑃‘{𝑄}) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄)))
87fveq2d 6336 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → (𝑃‘(𝑃‘{𝑄})) = (𝑃‘((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄))))
9 hlop 35171 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
10 eqid 2771 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1110, 3atbase 35098 . . . . 5 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
1210, 2opoccl 35003 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
139, 11, 12syl2an 583 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → ((oc‘𝐾)‘𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
1410, 2, 4, 5polpmapN 35720 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃‘((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄))) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄))))
1513, 14syldan 579 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → (𝑃‘((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄))) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄))))
1610, 2opococ 35004 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄)) = 𝑄)
179, 11, 16syl2an 583 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄)) = 𝑄)
1817fveq2d 6336 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄))) = ((pmap‘𝐾)‘𝑄))
193, 4pmapat 35571 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘𝑄) = {𝑄})
2018, 19eqtrd 2805 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄))) = {𝑄})
2115, 20eqtrd 2805 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → (𝑃‘((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑄))) = {𝑄})
228, 21eqtrd 2805 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → (𝑃‘(𝑃‘{𝑄})) = {𝑄})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  {csn 4316  cfv 6031  Basecbs 16064  occoc 16157  OPcops 34981  OLcol 34983  Atomscatm 35072  HLchlt 35159  pmapcpmap 35305  𝑃cpolN 35710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-riotaBAD 34761
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-undef 7551  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-p1 17248  df-lat 17254  df-clat 17316  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-pmap 35312  df-polarityN 35711
This theorem is referenced by:  atpsubclN  35753
  Copyright terms: Public domain W3C validator