Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2pmaplubN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2pmaplubN 35733
 Description: Double projective map of an LUB. (Contributed by NM, 6-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sspmaplub.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
sspmaplub.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
sspmaplub.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2pmaplubN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → (𝑀‘(𝑈‘(𝑀‘(𝑈𝑆)))) = (𝑀‘(𝑈𝑆)))

Proof of Theorem 2pmaplubN
StepHypRef Expression
1 sspmaplub.u . . . . . . 7 𝑈 = (lub‘𝐾)
2 sspmaplub.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 sspmaplub.m . . . . . . 7 𝑀 = (pmap‘𝐾)
4 eqid 2760 . . . . . . 7 (⊥𝑃𝐾) = (⊥𝑃𝐾)
51, 2, 3, 42polvalN 35721 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘𝑆)) = (𝑀‘(𝑈𝑆)))
65fveq2d 6357 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘𝑆))) = ((⊥𝑃𝐾)‘(𝑀‘(𝑈𝑆))))
76fveq2d 6357 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘𝑆)))) = ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘(𝑀‘(𝑈𝑆)))))
82, 4polssatN 35715 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ((⊥𝑃𝐾)‘𝑆) ⊆ 𝐴)
92, 43polN 35723 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((⊥𝑃𝐾)‘𝑆) ⊆ 𝐴) → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘𝑆)))) = ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘𝑆)))
108, 9syldan 488 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘𝑆)))) = ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘𝑆)))
117, 10eqtr3d 2796 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘(𝑀‘(𝑈𝑆)))) = ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘𝑆)))
12 hlclat 35166 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
13 eqid 2760 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1413, 2atssbase 35098 . . . . . . 7 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
15 sstr 3752 . . . . . . 7 ((𝑆𝐴𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
1614, 15mpan2 709 . . . . . 6 (𝑆𝐴𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
1713, 1clatlubcl 17333 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾)) → (𝑈𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
1812, 16, 17syl2an 495 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → (𝑈𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
1913, 2, 3pmapssat 35566 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑈𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑀‘(𝑈𝑆)) ⊆ 𝐴)
2018, 19syldan 488 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → (𝑀‘(𝑈𝑆)) ⊆ 𝐴)
211, 2, 3, 42polvalN 35721 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑀‘(𝑈𝑆)) ⊆ 𝐴) → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘(𝑀‘(𝑈𝑆)))) = (𝑀‘(𝑈‘(𝑀‘(𝑈𝑆)))))
2220, 21syldan 488 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘(𝑀‘(𝑈𝑆)))) = (𝑀‘(𝑈‘(𝑀‘(𝑈𝑆)))))
2311, 22eqtr3d 2796 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘𝑆)) = (𝑀‘(𝑈‘(𝑀‘(𝑈𝑆)))))
2423, 5eqtr3d 2796 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → (𝑀‘(𝑈‘(𝑀‘(𝑈𝑆)))) = (𝑀‘(𝑈𝑆)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ⊆ wss 3715  ‘cfv 6049  Basecbs 16079  lubclub 17163  CLatccla 17328  Atomscatm 35071  HLchlt 35158  pmapcpmap 35304  ⊥𝑃cpolN 35709 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-riotaBAD 34760 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-undef 7569  df-preset 17149  df-poset 17167  df-plt 17179  df-lub 17195  df-glb 17196  df-join 17197  df-meet 17198  df-p0 17260  df-p1 17261  df-lat 17267  df-clat 17329  df-oposet 34984  df-ol 34986  df-oml 34987  df-covers 35074  df-ats 35075  df-atl 35106  df-cvlat 35130  df-hlat 35159  df-psubsp 35310  df-pmap 35311  df-polarityN 35710 This theorem is referenced by:  paddunN  35734
 Copyright terms: Public domain W3C validator