Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2nn0ind Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2nn0ind 38012
 Description: Induction on nonnegative integers with two base cases, for use with Lucas-type sequences. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
2nn0ind.1 𝜓
2nn0ind.2 𝜒
2nn0ind.3 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝜃𝜏) → 𝜂))
2nn0ind.4 (𝑥 = 0 → (𝜑𝜓))
2nn0ind.5 (𝑥 = 1 → (𝜑𝜒))
2nn0ind.6 (𝑥 = (𝑦 − 1) → (𝜑𝜃))
2nn0ind.7 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜏))
2nn0ind.8 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜂))
2nn0ind.9 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜌))
Assertion
Ref Expression
2nn0ind (𝐴 ∈ ℕ0𝜌)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑥,𝐴   𝜓,𝑥   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥   𝜂,𝑥   𝜌,𝑥   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝜂(𝑦)   𝜌(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem 2nn0ind
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0p1nn 11524 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
2 oveq1 6820 . . . . . . 7 (𝑎 = 1 → (𝑎 − 1) = (1 − 1))
32sbceq1d 3581 . . . . . 6 (𝑎 = 1 → ([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑[(1 − 1) / 𝑥]𝜑))
4 dfsbcq 3578 . . . . . 6 (𝑎 = 1 → ([𝑎 / 𝑥]𝜑[1 / 𝑥]𝜑))
53, 4anbi12d 749 . . . . 5 (𝑎 = 1 → (([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([(1 − 1) / 𝑥]𝜑[1 / 𝑥]𝜑)))
6 oveq1 6820 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑦 → (𝑎 − 1) = (𝑦 − 1))
76sbceq1d 3581 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑦 → ([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑[(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑))
8 dfsbcq 3578 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑦 → ([𝑎 / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑))
97, 8anbi12d 749 . . . . 5 (𝑎 = 𝑦 → (([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑)))
10 oveq1 6820 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑦 + 1) → (𝑎 − 1) = ((𝑦 + 1) − 1))
1110sbceq1d 3581 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑦 + 1) → ([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑[((𝑦 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑))
12 dfsbcq 3578 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑦 + 1) → ([𝑎 / 𝑥]𝜑[(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑))
1311, 12anbi12d 749 . . . . 5 (𝑎 = (𝑦 + 1) → (([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([((𝑦 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑[(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑)))
14 oveq1 6820 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝐴 + 1) → (𝑎 − 1) = ((𝐴 + 1) − 1))
1514sbceq1d 3581 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐴 + 1) → ([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑[((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑))
16 dfsbcq 3578 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐴 + 1) → ([𝑎 / 𝑥]𝜑[(𝐴 + 1) / 𝑥]𝜑))
1715, 16anbi12d 749 . . . . 5 (𝑎 = (𝐴 + 1) → (([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑[(𝐴 + 1) / 𝑥]𝜑)))
18 2nn0ind.1 . . . . . . 7 𝜓
19 ovex 6841 . . . . . . . 8 (1 − 1) ∈ V
20 1m1e0 11281 . . . . . . . . . 10 (1 − 1) = 0
2120eqeq2i 2772 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (1 − 1) ↔ 𝑥 = 0)
22 2nn0ind.4 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝜑𝜓))
2321, 22sylbi 207 . . . . . . . 8 (𝑥 = (1 − 1) → (𝜑𝜓))
2419, 23sbcie 3611 . . . . . . 7 ([(1 − 1) / 𝑥]𝜑𝜓)
2518, 24mpbir 221 . . . . . 6 [(1 − 1) / 𝑥]𝜑
26 2nn0ind.2 . . . . . . 7 𝜒
27 1ex 10227 . . . . . . . 8 1 ∈ V
28 2nn0ind.5 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (𝜑𝜒))
2927, 28sbcie 3611 . . . . . . 7 ([1 / 𝑥]𝜑𝜒)
3026, 29mpbir 221 . . . . . 6 [1 / 𝑥]𝜑
3125, 30pm3.2i 470 . . . . 5 ([(1 − 1) / 𝑥]𝜑[1 / 𝑥]𝜑)
32 simprr 813 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑)) → [𝑦 / 𝑥]𝜑)
33 nncn 11220 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
34 ax-1cn 10186 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
35 pncan 10479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
3633, 34, 35sylancl 697 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
3736adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑)) → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
3837sbceq1d 3581 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑)) → ([((𝑦 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑))
3932, 38mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑)) → [((𝑦 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑)
40 2nn0ind.3 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝜃𝜏) → 𝜂))
41 ovex 6841 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 − 1) ∈ V
42 2nn0ind.6 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑦 − 1) → (𝜑𝜃))
4341, 42sbcie 3611 . . . . . . . . . 10 ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑𝜃)
44 vex 3343 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
45 2nn0ind.7 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜏))
4644, 45sbcie 3611 . . . . . . . . . 10 ([𝑦 / 𝑥]𝜑𝜏)
4743, 46anbi12i 735 . . . . . . . . 9 (([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑) ↔ (𝜃𝜏))
48 ovex 6841 . . . . . . . . . 10 (𝑦 + 1) ∈ V
49 2nn0ind.8 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜂))
5048, 49sbcie 3611 . . . . . . . . 9 ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑𝜂)
5140, 47, 503imtr4g 285 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → (([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑) → [(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑))
5251imp 444 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑)) → [(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑)
5339, 52jca 555 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑)) → ([((𝑦 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑[(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑))
5453ex 449 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ → (([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑) → ([((𝑦 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑[(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑)))
555, 9, 13, 17, 31, 54nnind 11230 . . . 4 ((𝐴 + 1) ∈ ℕ → ([((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑[(𝐴 + 1) / 𝑥]𝜑))
561, 55syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ0 → ([((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑[(𝐴 + 1) / 𝑥]𝜑))
57 nn0cn 11494 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℂ)
58 pncan 10479 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
5957, 34, 58sylancl 697 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
6059sbceq1d 3581 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ0 → ([((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑[𝐴 / 𝑥]𝜑))
6160biimpa 502 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0[((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑) → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
6261adantrr 755 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ ([((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑[(𝐴 + 1) / 𝑥]𝜑)) → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
6356, 62mpdan 705 . 2 (𝐴 ∈ ℕ0[𝐴 / 𝑥]𝜑)
64 2nn0ind.9 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜌))
6564sbcieg 3609 . 2 (𝐴 ∈ ℕ0 → ([𝐴 / 𝑥]𝜑𝜌))
6663, 65mpbid 222 1 (𝐴 ∈ ℕ0𝜌)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  [wsbc 3576  (class class class)co 6813  ℂcc 10126  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   − cmin 10458  ℕcn 11212  ℕ0cn0 11484 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-ltxr 10271  df-sub 10460  df-nn 11213  df-n0 11485 This theorem is referenced by:  jm2.18  38057  jm2.15nn0  38072  jm2.16nn0  38073
 Copyright terms: Public domain W3C validator