MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2nn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2nn 11223
Description: 2 is a positive integer. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.)
Assertion
Ref Expression
2nn 2 ∈ ℕ

Proof of Theorem 2nn
StepHypRef Expression
1 df-2 11117 . 2 2 = (1 + 1)
2 1nn 11069 . . 3 1 ∈ ℕ
3 peano2nn 11070 . . 3 (1 ∈ ℕ → (1 + 1) ∈ ℕ)
42, 3ax-mp 5 . 2 (1 + 1) ∈ ℕ
51, 4eqeltri 2726 1 2 ∈ ℕ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2030  (class class class)co 6690  1c1 9975   + caddc 9977  cn 11058  2c2 11108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-1cn 10032
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-nn 11059  df-2 11117
This theorem is referenced by:  3nn  11224  2nn0  11347  2z  11447  uz3m2nn  11769  ige2m1fz1  12467  sqeq0  12967  expmulnbnd  13036  sqeq0d  13047  faclbnd5  13125  bcn2  13146  f1oun2prg  13708  wrdl2exs2  13736  wwlktovf  13745  climcndslem1  14625  climcndslem2  14626  climcnds  14627  harmonic  14635  geo2sum  14648  geo2lim  14650  ege2le3  14864  ef01bndlem  14958  egt2lt3  14978  nthruc  15025  mod2eq0even  15117  bits0o  15199  bitsp1  15200  bitsfzolem  15203  bitsfzo  15204  bitsmod  15205  bitsfi  15206  bitscmp  15207  bitsinv1lem  15210  bitsinv1  15211  2ebits  15216  bitsinvp1  15218  sadcaddlem  15226  sadadd3  15230  sadaddlem  15235  sadasslem  15239  bitsres  15242  bitsuz  15243  bitsshft  15244  smumullem  15261  smumul  15262  sqgcd  15325  3lcm2e6woprm  15375  prm2orodd  15451  3prm  15453  4nprm  15454  isevengcd2  15485  3lcm2e6  15487  pythagtriplem4  15571  iserodd  15587  oddprmdvds  15654  prmreclem3  15669  prmreclem5  15671  prmreclem6  15672  4sqlem12  15707  vdwlem3  15734  vdwlem9  15740  vdwlem10  15741  prmo2  15791  dec2dvds  15814  dec5nprm  15817  dec2nprm  15818  2expltfac  15846  5prm  15862  6nprm  15863  7prm  15864  8nprm  15865  10nprm  15867  10nprmOLD  15868  11prm  15869  17prm  15871  23prm  15873  37prm  15875  43prm  15876  83prm  15877  139prm  15878  163prm  15879  317prm  15880  631prm  15881  1259lem1  15885  1259lem2  15886  1259lem3  15887  1259lem4  15888  1259lem5  15889  1259prm  15890  2503lem1  15891  2503lem2  15892  2503lem3  15893  2503prm  15894  4001lem1  15895  4001lem2  15896  4001lem3  15897  4001lem4  15898  4001prm  15899  plusgndx  16023  plusgid  16024  grpstr  16037  grpbase  16038  grpplusg  16039  ressplusg  16040  rngstr  16047  lmodstr  16064  topgrpstr  16089  dsndx  16109  dsid  16110  odrngstr  16113  ressds  16120  imasvalstr  16159  pmtrprfvalrn  17954  psgnunilem2  17961  psgnprfval  17987  psgnprfval1  17988  mgpds  18545  oppradd  18676  sraaddg  19227  srads  19234  opsrplusg  19528  cnfldstr  19796  cnfldfun  19806  zlmplusg  19915  znadd  19937  m2detleiblem1  20478  m2detleiblem5  20479  m2detleiblem6  20480  m2detleiblem3  20483  m2detleiblem4  20484  m2detleib  20485  tmslem  22334  tngplusg  22493  ovollb2lem  23302  ovolunlem1a  23310  ovolunlem1  23311  ovoliunlem1  23316  ovoliunlem3  23318  dyadf  23405  dyadovol  23407  dyadss  23408  dyaddisjlem  23409  dyadmaxlem  23411  opnmbllem  23415  mbfi1fseqlem1  23527  mbfi1fseqlem3  23529  mbfi1fseqlem4  23530  mbfi1fseqlem5  23531  mbfi1fseqlem6  23532  dveflem  23787  aaliou3lem9  24150  dcubic1lem  24615  dcubic2  24616  mcubic  24619  quartlem1  24629  quartlem2  24630  zetacvg  24786  lgamgulmlem4  24803  basellem1  24852  basellem2  24853  basellem3  24854  basellem4  24855  basellem5  24856  basellem6  24857  basellem7  24858  basellem8  24859  basellem9  24860  1sgm2ppw  24970  ppiublem1  24972  chtublem  24981  mersenne  24997  perfect1  24998  perfectlem1  24999  perfectlem2  25000  perfect  25001  pcbcctr  25046  bclbnd  25050  bposlem1  25054  bposlem2  25055  bposlem3  25056  bposlem4  25057  bposlem5  25058  bposlem6  25059  bposlem8  25061  lgsdir2lem2  25096  lgsqr  25121  lgsqrmodndvds  25123  gausslemma2dlem1a  25135  gausslemma2d  25144  lgseisenlem1  25145  lgseisenlem2  25146  lgseisenlem3  25147  lgseisenlem4  25148  lgsquadlem1  25150  lgsquadlem2  25151  lgsquad2lem2  25155  2lgslem1c  25163  2lgs  25177  2sqlem3  25190  2sqlem8  25196  chebbnd1lem1  25203  chebbnd1lem3  25205  logdivsum  25267  log2sumbnd  25278  pntlemd  25328  pntlema  25330  pntlemb  25331  pntlemf  25339  pntlemo  25341  ostth2lem1  25352  trkgstr  25388  ttgplusg  25803  ttgds  25806  axlowdimlem6  25872  eengstr  25905  usgrexmplef  26196  cusgrsizeindb0  26401  usgr2pthlem  26715  uspgrn2crct  26756  usgr2wspthons3  26931  clwwlkn2  27007  wwlksext2clwwlk  27021  wwlksext2clwwlkOLD  27022  eupth2lem3lem4  27209  frgrhash2wsp  27312  2clwwlk2clwwlk  27338  numclwlk2lem2f1o  27359  numclwwlk2lem1OLD  27363  numclwlk2lem2fOLD  27364  numclwlk2lem2f1oOLD  27366  ex-xp  27423  ex-cnv  27424  ex-rn  27427  ex-mod  27436  resvplusg  29961  lmat22e11  30012  lmat22e12  30013  lmat22e21  30014  lmat22e22  30015  lmat22det  30016  oddpwdc  30544  eulerpartlemt  30561  eulerpartlemgh  30568  fib0  30589  fib1  30590  fib3  30593  chtvalz  30835  hgt750lem  30857  hgt750lemb  30862  hgt750leme  30864  problem5  31689  bcprod  31750  opnmbllem0  33575  mblfinlem1  33576  dvasin  33626  areacirclem1  33630  heiborlem3  33742  heiborlem5  33744  heiborlem6  33745  heiborlem7  33746  heiborlem8  33747  heibor  33750  hlhilsplus  37549  jm2.17a  37844  jm2.17b  37845  jm2.17c  37846  acongrep  37864  acongeq  37867  jm2.27a  37889  jm2.27c  37891  rmydioph  37898  rmxdioph  37900  expdiophlem2  37906  expdioph  37907  frlmpwfi  37985  amgm2d  38818  hashnzfz2  38837  lhe4.4ex1a  38845  limsup10exlem  40322  wallispilem5  40604  wallispi2lem1  40606  wallispi2  40608  stirlinglem3  40611  stirlinglem8  40616  stirlinglem10  40618  stirlinglem15  40623  dirkertrigeqlem3  40635  fouriersw  40766  hoicvrrex  41091  ovnsubaddlem1  41105  ovnsubaddlem2  41106  ovnsubadd2lem  41180  ovolval5lem1  41187  ovolval5lem2  41188  elmod2  41665  pfx2  41737  fmtnoodd  41770  fmtnof1  41772  fmtnosqrt  41776  fmtnorec4  41786  257prm  41798  odz2prm2pw  41800  fmtnoprmfac1lem  41801  fmtnoprmfac1  41802  fmtnoprmfac2lem1  41803  fmtnoprmfac2  41804  fmtno4prm  41812  2pwp1prm  41828  139prmALT  41836  127prm  41840  sfprmdvdsmersenne  41845  lighneallem1  41847  lighneallem3  41849  proththdlem  41855  proththd  41856  iseven5  41901  oddprmALTV  41923  perfectALTVlem1  41955  perfectALTVlem2  41956  perfectALTV  41957  nnsum3primes4  42001  nnsum3primesgbe  42005  evengpoap3  42012  nnsum4primesevenALTV  42014  bgoldbtbndlem1  42018  tgblthelfgott  42028  tgblthelfgottOLD  42034  pw2m1lepw2m1  42635  nnpw2even  42648  logbpw2m1  42686  blenpw2  42697  nnpw2pmod  42702  blen2  42704  nnpw2p  42705  nnpw2pb  42706  blennnt2  42708  nnolog2flm1  42709  dig2nn1st  42724  0dig2pr01  42729  dig2nn0  42730  0dig2nn0e  42731  0dig2nn0o  42732  dig2bits  42733  dignn0flhalflem1  42734  dignn0ehalf  42736  dignn0flhalf  42737  nn0sumshdiglemA  42738  nn0sumshdiglemB  42739  nn0sumshdiglem1  42740  nn0sumshdiglem2  42741  nn0mullong  42744  amgmw2d  42878
  Copyright terms: Public domain W3C validator