Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2llnmj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2llnmj 35369
Description: The meet of two lattice lines is an atom iff their join is a lattice plane. (Contributed by NM, 27-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2llnmj.j = (join‘𝐾)
2llnmj.m = (meet‘𝐾)
2llnmj.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2llnmj.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
2llnmj.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2llnmj ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑃))

Proof of Theorem 2llnmj
StepHypRef Expression
1 simp1 1130 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → 𝐾 ∈ HL)
2 eqid 2771 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3 2llnmj.n . . . . 5 𝑁 = (LLines‘𝐾)
42, 3llnbase 35318 . . . 4 (𝑋𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
543ad2ant2 1128 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
62, 3llnbase 35318 . . . 4 (𝑌𝑁𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
763ad2ant3 1129 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
8 2llnmj.j . . . 4 = (join‘𝐾)
9 2llnmj.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
10 eqid 2771 . . . 4 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
112, 8, 9, 10cvrexch 35229 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)))
121, 5, 7, 11syl3anc 1476 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → ((𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)))
13 simpl1 1227 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
14 simpr 471 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)
15 simpl3 1231 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝑌𝑁)
16 hllat 35172 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
17 eqid 2771 . . . . . . 7 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
182, 17, 9latmle2 17285 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
1916, 4, 6, 18syl3an 1163 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
2019adantr 466 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
21 2llnmj.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2217, 10, 21, 3atcvrlln2 35328 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌) → (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌)
2313, 14, 15, 20, 22syl31anc 1479 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌)
24 simpl3 1231 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → 𝑌𝑁)
252, 9latmcl 17260 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
2616, 4, 6, 25syl3an 1163 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
271, 26, 73jca 1122 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)))
282, 10, 21, 3atcvrlln 35329 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑌𝑁))
2927, 28sylan 569 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑌𝑁))
3024, 29mpbird 247 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)
3123, 30impbida 802 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌))
32 simpl1 1227 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑃) → 𝐾 ∈ HL)
33 simpl2 1229 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑃) → 𝑋𝑁)
34 simpr 471 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑃) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑃)
352, 17, 8latlej1 17268 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))
3616, 4, 6, 35syl3an 1163 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))
3736adantr 466 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑃) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))
38 2llnmj.p . . . . 5 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
3917, 10, 3, 38llncvrlpln2 35366 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁 ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑃) ∧ 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌))
4032, 33, 34, 37, 39syl31anc 1479 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑃) → 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌))
41 simpl2 1229 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑋𝑁)
422, 8latjcl 17259 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
4316, 4, 6, 42syl3an 1163 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
441, 5, 433jca 1122 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾)))
452, 10, 3, 38llncvrlpln 35367 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋𝑁 ↔ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑃))
4644, 45sylan 569 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋𝑁 ↔ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑃))
4741, 46mpbid 222 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑃)
4840, 47impbida 802 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝑃𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)))
4912, 31, 483bitr4d 300 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4787  cfv 6030  (class class class)co 6796  Basecbs 16064  lecple 16156  joincjn 17152  meetcmee 17153  Latclat 17253  ccvr 35071  Atomscatm 35072  HLchlt 35159  LLinesclln 35300  LPlanesclpl 35301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-lat 17254  df-clat 17316  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-llines 35307  df-lplanes 35308
This theorem is referenced by:  2atmat  35370  dalem2  35470  dalemdea  35471  dalem22  35504  dalem23  35505  arglem1N  36000  cdleme16d  36091  cdleme20l2  36131
  Copyright terms: Public domain W3C validator