Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2llnmeqat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2llnmeqat 35379
Description: An atom equals the intersection of two majorizing lines. (Contributed by NM, 3-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
2llnmeqat.l = (le‘𝐾)
2llnmeqat.m = (meet‘𝐾)
2llnmeqat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2llnmeqat.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2llnmeqat ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → 𝑃 = (𝑋 𝑌))

Proof of Theorem 2llnmeqat
StepHypRef Expression
1 simp3r 1244 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → 𝑃 (𝑋 𝑌))
2 hlatl 35169 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
323ad2ant1 1127 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → 𝐾 ∈ AtLat)
4 simp23 1250 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → 𝑃𝐴)
5 simp1 1130 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → 𝐾 ∈ HL)
6 simp21 1248 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → 𝑋𝑁)
7 simp22 1249 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → 𝑌𝑁)
8 simp3l 1243 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → 𝑋𝑌)
9 hllat 35172 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
1093ad2ant1 1127 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → 𝐾 ∈ Lat)
11 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
12 2llnmeqat.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
1311, 12atbase 35098 . . . . . . . 8 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
144, 13syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
15 2llnmeqat.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LLines‘𝐾)
1611, 15llnbase 35317 . . . . . . . 8 (𝑋𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
176, 16syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
1811, 15llnbase 35317 . . . . . . . 8 (𝑌𝑁𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
197, 18syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
20 2llnmeqat.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
21 2llnmeqat.m . . . . . . . 8 = (meet‘𝐾)
2211, 20, 21latlem12 17286 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 𝑋𝑃 𝑌) ↔ 𝑃 (𝑋 𝑌)))
2310, 14, 17, 19, 22syl13anc 1478 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → ((𝑃 𝑋𝑃 𝑌) ↔ 𝑃 (𝑋 𝑌)))
241, 23mpbird 247 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → (𝑃 𝑋𝑃 𝑌))
25 eqid 2771 . . . . . 6 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
2620, 21, 25, 12, 152llnm4 35378 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑃 𝑋𝑃 𝑌)) → (𝑋 𝑌) ≠ (0.‘𝐾))
275, 4, 6, 7, 24, 26syl131anc 1489 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → (𝑋 𝑌) ≠ (0.‘𝐾))
2821, 25, 12, 152llnmat 35332 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ (0.‘𝐾))) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)
295, 6, 7, 8, 27, 28syl32anc 1484 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)
3020, 12atcmp 35120 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴 ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑃 (𝑋 𝑌) ↔ 𝑃 = (𝑋 𝑌)))
313, 4, 29, 30syl3anc 1476 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → (𝑃 (𝑋 𝑌) ↔ 𝑃 = (𝑋 𝑌)))
321, 31mpbid 222 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → 𝑃 = (𝑋 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  lecple 16156  meetcmee 17153  0.cp0 17245  Latclat 17253  Atomscatm 35072  AtLatcal 35073  HLchlt 35159  LLinesclln 35299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-lat 17254  df-clat 17316  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-llines 35306
This theorem is referenced by:  cdlemeg46req  36338
  Copyright terms: Public domain W3C validator