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Theorem 2llnma3r 35589
Description: Two different intersecting lines (expressed in terms of atoms) meet at their common point (atom). (Contributed by NM, 30-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
2llnm.l = (le‘𝐾)
2llnm.j = (join‘𝐾)
2llnm.m = (meet‘𝐾)
2llnm.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2llnma3r ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → ((𝑃 𝑅) (𝑄 𝑅)) = 𝑅)

Proof of Theorem 2llnma3r
StepHypRef Expression
1 simp1 1129 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp21 1247 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → 𝑃𝐴)
3 simp23 1249 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → 𝑅𝐴)
4 2llnm.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
5 2llnm.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
64, 5hlatjcom 35169 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑅𝐴) → (𝑃 𝑅) = (𝑅 𝑃))
71, 2, 3, 6syl3anc 1475 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → (𝑃 𝑅) = (𝑅 𝑃))
8 simp22 1248 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → 𝑄𝐴)
94, 5hlatjcom 35169 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → (𝑄 𝑅) = (𝑅 𝑄))
101, 8, 3, 9syl3anc 1475 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → (𝑄 𝑅) = (𝑅 𝑄))
117, 10oveq12d 6810 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → ((𝑃 𝑅) (𝑄 𝑅)) = ((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)))
12 simpr 471 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝑄 = 𝑅)
1312oveq2d 6808 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑅 𝑄) = (𝑅 𝑅))
14 simpl1 1226 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝐾 ∈ HL)
15 simpl23 1323 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝑅𝐴)
164, 5hlatjidm 35170 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴) → (𝑅 𝑅) = 𝑅)
1714, 15, 16syl2anc 565 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑅 𝑅) = 𝑅)
1813, 17eqtrd 2804 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑅 𝑄) = 𝑅)
1918oveq2d 6808 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → ((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) = ((𝑅 𝑃) 𝑅))
20 2llnm.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
2120, 4, 5hlatlej1 35176 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑃𝐴) → 𝑅 (𝑅 𝑃))
221, 3, 2, 21syl3anc 1475 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → 𝑅 (𝑅 𝑃))
23 hllat 35165 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
24233ad2ant1 1126 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → 𝐾 ∈ Lat)
25 eqid 2770 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2625, 5atbase 35091 . . . . . . . 8 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
273, 26syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
2825, 4, 5hlatjcl 35168 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑃𝐴) → (𝑅 𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
291, 3, 2, 28syl3anc 1475 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → (𝑅 𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
30 2llnm.m . . . . . . . 8 = (meet‘𝐾)
3125, 20, 30latleeqm2 17287 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 𝑃) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑅 (𝑅 𝑃) ↔ ((𝑅 𝑃) 𝑅) = 𝑅))
3224, 27, 29, 31syl3anc 1475 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → (𝑅 (𝑅 𝑃) ↔ ((𝑅 𝑃) 𝑅) = 𝑅))
3322, 32mpbid 222 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → ((𝑅 𝑃) 𝑅) = 𝑅)
3433adantr 466 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → ((𝑅 𝑃) 𝑅) = 𝑅)
3519, 34eqtrd 2804 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → ((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) = 𝑅)
36 simpl1 1226 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → 𝐾 ∈ HL)
37 simpl21 1319 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → 𝑃𝐴)
38 simpl23 1323 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → 𝑅𝐴)
39 simpl22 1321 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → 𝑄𝐴)
40 simpl3 1230 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅))
4120, 4, 5hlatlej2 35177 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑅𝐴) → 𝑅 (𝑃 𝑅))
421, 2, 3, 41syl3anc 1475 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → 𝑅 (𝑃 𝑅))
4325, 5atbase 35091 . . . . . . . . . . . 12 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
448, 43syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
4525, 4, 5hlatjcl 35168 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑅𝐴) → (𝑃 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
461, 2, 3, 45syl3anc 1475 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → (𝑃 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
4725, 20, 4latjle12 17269 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑄 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑅)) ↔ (𝑄 𝑅) (𝑃 𝑅)))
4824, 44, 27, 46, 47syl13anc 1477 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → ((𝑄 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑅)) ↔ (𝑄 𝑅) (𝑃 𝑅)))
4948biimpd 219 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → ((𝑄 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑅)) → (𝑄 𝑅) (𝑃 𝑅)))
5042, 49mpan2d 666 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → (𝑄 (𝑃 𝑅) → (𝑄 𝑅) (𝑃 𝑅)))
5150adantr 466 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → (𝑄 (𝑃 𝑅) → (𝑄 𝑅) (𝑃 𝑅)))
52 simpr 471 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → 𝑄𝑅)
5320, 4, 5ps-1 35278 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑃𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑄 𝑅) (𝑃 𝑅) ↔ (𝑄 𝑅) = (𝑃 𝑅)))
5436, 39, 38, 52, 37, 38, 53syl132anc 1493 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → ((𝑄 𝑅) (𝑃 𝑅) ↔ (𝑄 𝑅) = (𝑃 𝑅)))
5554biimpd 219 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → ((𝑄 𝑅) (𝑃 𝑅) → (𝑄 𝑅) = (𝑃 𝑅)))
56 eqcom 2777 . . . . . . . 8 ((𝑄 𝑅) = (𝑃 𝑅) ↔ (𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅))
5755, 56syl6ib 241 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → ((𝑄 𝑅) (𝑃 𝑅) → (𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅)))
5851, 57syld 47 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → (𝑄 (𝑃 𝑅) → (𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅)))
5958necon3ad 2955 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → ((𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅) → ¬ 𝑄 (𝑃 𝑅)))
6040, 59mpd 15 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → ¬ 𝑄 (𝑃 𝑅))
6120, 4, 30, 52llnma1 35588 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑅𝐴𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑅)) → ((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) = 𝑅)
6236, 37, 38, 39, 60, 61syl131anc 1488 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → ((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) = 𝑅)
6335, 62pm2.61dane 3029 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → ((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) = 𝑅)
6411, 63eqtrd 2804 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → ((𝑃 𝑅) (𝑄 𝑅)) = 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942   class class class wbr 4784  cfv 6031  (class class class)co 6792  Basecbs 16063  lecple 16155  joincjn 17151  meetcmee 17152  Latclat 17252  Atomscatm 35065  HLchlt 35152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-preset 17135  df-poset 17153  df-plt 17165  df-lub 17181  df-glb 17182  df-join 17183  df-meet 17184  df-p0 17246  df-lat 17253  df-clat 17315  df-oposet 34978  df-ol 34980  df-oml 34981  df-covers 35068  df-ats 35069  df-atl 35100  df-cvlat 35124  df-hlat 35153
This theorem is referenced by:  cdlemg9a  36434  cdlemg12a  36445
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