MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgsoddprmlem3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgsoddprmlem3d 25183
Description: Lemma 4 for 2lgsoddprmlem3 25184. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
2lgsoddprmlem3d (((7↑2) − 1) / 8) = (2 · 3)

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem3d
StepHypRef Expression
1 6cn 11140 . . 3 6 ∈ ℂ
2 8cn 11144 . . 3 8 ∈ ℂ
3 0re 10078 . . . 4 0 ∈ ℝ
4 8pos 11159 . . . 4 0 < 8
53, 4gtneii 10187 . . 3 8 ≠ 0
61, 2, 5divcan4i 10810 . 2 ((6 · 8) / 8) = 6
71, 2mulcli 10083 . . . 4 (6 · 8) ∈ ℂ
8 ax-1cn 10032 . . . 4 1 ∈ ℂ
9 4p3e7 11201 . . . . . . 7 (4 + 3) = 7
109eqcomi 2660 . . . . . 6 7 = (4 + 3)
1110oveq1i 6700 . . . . 5 (7↑2) = ((4 + 3)↑2)
12 4cn 11136 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
13 3cn 11133 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
1412, 13binom2i 13014 . . . . . 6 ((4 + 3)↑2) = (((4↑2) + (2 · (4 · 3))) + (3↑2))
15 sq4e2t8 13002 . . . . . . . . . 10 (4↑2) = (2 · 8)
16 2cn 11129 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
17 4t2e8 11219 . . . . . . . . . . . . 13 (4 · 2) = 8
1812, 16, 17mulcomli 10085 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 4) = 8
1918oveq1i 6700 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 4) · 3) = (8 · 3)
2016, 12, 13mulassi 10087 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 4) · 3) = (2 · (4 · 3))
212, 13mulcomi 10084 . . . . . . . . . . 11 (8 · 3) = (3 · 8)
2219, 20, 213eqtr3i 2681 . . . . . . . . . 10 (2 · (4 · 3)) = (3 · 8)
2315, 22oveq12i 6702 . . . . . . . . 9 ((4↑2) + (2 · (4 · 3))) = ((2 · 8) + (3 · 8))
2416, 13, 2adddiri 10089 . . . . . . . . 9 ((2 + 3) · 8) = ((2 · 8) + (3 · 8))
25 3p2e5 11198 . . . . . . . . . . 11 (3 + 2) = 5
2613, 16, 25addcomli 10266 . . . . . . . . . 10 (2 + 3) = 5
2726oveq1i 6700 . . . . . . . . 9 ((2 + 3) · 8) = (5 · 8)
2823, 24, 273eqtr2i 2679 . . . . . . . 8 ((4↑2) + (2 · (4 · 3))) = (5 · 8)
29 sq3 13001 . . . . . . . . 9 (3↑2) = 9
30 df-9 11124 . . . . . . . . 9 9 = (8 + 1)
3129, 30eqtri 2673 . . . . . . . 8 (3↑2) = (8 + 1)
3228, 31oveq12i 6702 . . . . . . 7 (((4↑2) + (2 · (4 · 3))) + (3↑2)) = ((5 · 8) + (8 + 1))
33 5cn 11138 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
3433, 2mulcli 10083 . . . . . . . 8 (5 · 8) ∈ ℂ
3534, 2, 8addassi 10086 . . . . . . 7 (((5 · 8) + 8) + 1) = ((5 · 8) + (8 + 1))
36 df-6 11121 . . . . . . . . . . 11 6 = (5 + 1)
3736oveq1i 6700 . . . . . . . . . 10 (6 · 8) = ((5 + 1) · 8)
3833a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (8 ∈ ℂ → 5 ∈ ℂ)
39 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (8 ∈ ℂ → 8 ∈ ℂ)
4038, 39adddirp1d 10104 . . . . . . . . . . 11 (8 ∈ ℂ → ((5 + 1) · 8) = ((5 · 8) + 8))
412, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((5 + 1) · 8) = ((5 · 8) + 8)
4237, 41eqtri 2673 . . . . . . . . 9 (6 · 8) = ((5 · 8) + 8)
4342eqcomi 2660 . . . . . . . 8 ((5 · 8) + 8) = (6 · 8)
4443oveq1i 6700 . . . . . . 7 (((5 · 8) + 8) + 1) = ((6 · 8) + 1)
4532, 35, 443eqtr2i 2679 . . . . . 6 (((4↑2) + (2 · (4 · 3))) + (3↑2)) = ((6 · 8) + 1)
4614, 45eqtri 2673 . . . . 5 ((4 + 3)↑2) = ((6 · 8) + 1)
4711, 46eqtri 2673 . . . 4 (7↑2) = ((6 · 8) + 1)
487, 8, 47mvrraddi 10336 . . 3 ((7↑2) − 1) = (6 · 8)
4948oveq1i 6700 . 2 (((7↑2) − 1) / 8) = ((6 · 8) / 8)
50 3t2e6 11217 . . 3 (3 · 2) = 6
5113, 16, 50mulcomli 10085 . 2 (2 · 3) = 6
526, 49, 513eqtr4i 2683 1 (((7↑2) − 1) / 8) = (2 · 3)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1523  wcel 2030  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  cmin 10304   / cdiv 10722  2c2 11108  3c3 11109  4c4 11110  5c5 11111  6c6 11112  7c7 11113  8c8 11114  9c9 11115  cexp 12900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-seq 12842  df-exp 12901
This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem3  25184
  Copyright terms: Public domain W3C validator