Theorem 2lgsoddprmlem3c 25182

Description: Lemma 3 for 2lgsoddprmlem3 25184. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgsoddprmlem3c	⊢ (((5↑2) − 1) / 8) = 3

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem3c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 11120	. . . . . . 7 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 6700	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 11136	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 13020	. . . . . . 7 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6	2, 5	eqtri 2673	. . . . 5 ⊢ (5↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
7	6	oveq1i 6700	. . . 4 ⊢ ((5↑2) − 1) = ((((4↑2) + (2 · 4)) + 1) − 1)
8		3cn 11133	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		8cn 11144	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℂ
10	8, 9	mulcli 10083	. . . . 5 ⊢ (3 · 8) ∈ ℂ
11		ax-1cn 10032	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		sq4e2t8 13002	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
13		2cn 11129	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		4t2e8 11219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 · 2) = 8
15	9	mulid2i 10081	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 8) = 8
16	14, 15	eqtr4i 2676	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = (1 · 8)
17	3, 13, 16	mulcomli 10085	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = (1 · 8)
18	12, 17	oveq12i 6702	. . . . . . 7 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ((2 · 8) + (1 · 8))
19	13, 11, 9	adddiri 10089	. . . . . . 7 ⊢ ((2 + 1) · 8) = ((2 · 8) + (1 · 8))
20		2p1e3 11189	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = 3
21	20	oveq1i 6700	. . . . . . 7 ⊢ ((2 + 1) · 8) = (3 · 8)
22	18, 19, 21	3eqtr2i 2679	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (3 · 8)
23	22	oveq1i 6700	. . . . 5 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ((3 · 8) + 1)
24	10, 11, 23	mvrraddi 10336	. . . 4 ⊢ ((((4↑2) + (2 · 4)) + 1) − 1) = (3 · 8)
25	7, 24	eqtri 2673	. . 3 ⊢ ((5↑2) − 1) = (3 · 8)
26	25	oveq1i 6700	. 2 ⊢ (((5↑2) − 1) / 8) = ((3 · 8) / 8)
27		0re 10078	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		8pos 11159	. . . 4 ⊢ 0 < 8
29	27, 28	gtneii 10187	. . 3 ⊢ 8 ≠ 0
30	8, 9, 29	divcan4i 10810	. 2 ⊢ ((3 · 8) / 8) = 3
31	26, 30	eqtri 2673	1 ⊢ (((5↑2) − 1) / 8) = 3

Syntax hints:   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   − cmin 10304   / cdiv 10722  2c2 11108  3c3 11109  4c4 11110  5c5 11111  8c8 11114  ↑cexp 12900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-seq 12842  df-exp 12901

This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem3  25184