MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem3d1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem3d1 25348
Description: Lemma 4 for 2lgslem3 25349. (Contributed by AV, 15-Jul-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2lgslem2.n 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
Assertion
Ref Expression
2lgslem3d1 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 7) → (𝑁 mod 2) = 0)

Proof of Theorem 2lgslem3d1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 11511 . . . 4 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
2 8nn 11403 . . . . 5 8 ∈ ℕ
3 nnrp 12055 . . . . 5 (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
42, 3ax-mp 5 . . . 4 8 ∈ ℝ+
5 modmuladdnn0 12928 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 8 ∈ ℝ+) → ((𝑃 mod 8) = 7 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7)))
61, 4, 5sylancl 697 . . 3 (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 mod 8) = 7 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7)))
7 simpr 479 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8 nn0cn 11514 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
9 8cn 11318 . . . . . . . . . . . . 13 8 ∈ ℂ
109a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
118, 10mulcomd 10273 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
1211adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
1312oveq1d 6829 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 · 8) + 7) = ((8 · 𝑘) + 7))
1413eqeq2d 2770 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7) ↔ 𝑃 = ((8 · 𝑘) + 7)))
1514biimpa 502 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7)) → 𝑃 = ((8 · 𝑘) + 7))
16 2lgslem2.n . . . . . . . 8 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
17162lgslem3d 25344 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 = ((8 · 𝑘) + 7)) → 𝑁 = ((2 · 𝑘) + 2))
187, 15, 17syl2an2r 911 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7)) → 𝑁 = ((2 · 𝑘) + 2))
19 oveq1 6821 . . . . . . 7 (𝑁 = ((2 · 𝑘) + 2) → (𝑁 mod 2) = (((2 · 𝑘) + 2) mod 2))
20 2t1e2 11388 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 1) = 2
2120eqcomi 2769 . . . . . . . . . . . 12 2 = (2 · 1)
2221a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 = (2 · 1))
2322oveq2d 6830 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 2) = ((2 · 𝑘) + (2 · 1)))
24 2cnd 11305 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
25 1cnd 10268 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
26 adddi 10237 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · (𝑘 + 1)) = ((2 · 𝑘) + (2 · 1)))
2726eqcomd 2766 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑘) + (2 · 1)) = (2 · (𝑘 + 1)))
2824, 8, 25, 27syl3anc 1477 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + (2 · 1)) = (2 · (𝑘 + 1)))
298, 25addcld 10271 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
3024, 29mulcomd 10273 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · (𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · 2))
3123, 28, 303eqtrd 2798 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 2) = ((𝑘 + 1) · 2))
3231oveq1d 6829 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 2) mod 2) = (((𝑘 + 1) · 2) mod 2))
33 peano2nn0 11545 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
3433nn0zd 11692 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
35 2rp 12050 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
36 mulmod0 12890 . . . . . . . . 9 (((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (((𝑘 + 1) · 2) mod 2) = 0)
3734, 35, 36sylancl 697 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑘 + 1) · 2) mod 2) = 0)
3832, 37eqtrd 2794 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 2) mod 2) = 0)
3919, 38sylan9eqr 2816 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 = ((2 · 𝑘) + 2)) → (𝑁 mod 2) = 0)
407, 18, 39syl2an2r 911 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7)) → (𝑁 mod 2) = 0)
4140ex 449 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7) → (𝑁 mod 2) = 0))
4241rexlimdva 3169 . . 3 (𝑃 ∈ ℕ → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7) → (𝑁 mod 2) = 0))
436, 42syld 47 . 2 (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 mod 8) = 7 → (𝑁 mod 2) = 0))
4443imp 444 1 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 7) → (𝑁 mod 2) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wrex 3051  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153  cmin 10478   / cdiv 10896  cn 11232  2c2 11282  4c4 11284  7c7 11287  8c8 11288  0cn0 11504  cz 11589  +crp 12045  cfl 12805   mod cmo 12882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-ico 12394  df-fl 12807  df-mod 12883
This theorem is referenced by:  2lgslem3  25349
  Copyright terms: Public domain W3C validator