MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem3c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem3c 25343
Description: Lemma for 2lgslem3c1 25347. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2lgslem2.n 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
Assertion
Ref Expression
2lgslem3c ((𝐾 ∈ ℕ0𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5)) → 𝑁 = ((2 · 𝐾) + 1))

Proof of Theorem 2lgslem3c
StepHypRef Expression
1 2lgslem2.n . . 3 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
2 oveq1 6821 . . . . 5 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) → (𝑃 − 1) = (((8 · 𝐾) + 5) − 1))
32oveq1d 6829 . . . 4 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2))
4 oveq1 6821 . . . . 5 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) → (𝑃 / 4) = (((8 · 𝐾) + 5) / 4))
54fveq2d 6357 . . . 4 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) → (⌊‘(𝑃 / 4)) = (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4)))
63, 5oveq12d 6832 . . 3 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) → (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4))))
71, 6syl5eq 2806 . 2 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) → 𝑁 = (((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4))))
8 8nn0 11527 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℕ0
98a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℕ0)
10 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0)
119, 10nn0mulcld 11568 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℕ0)
1211nn0cnd 11565 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℂ)
13 5cn 11312 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
1413a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 5 ∈ ℂ)
15 1cnd 10268 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
1612, 14, 15addsubassd 10624 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 5) − 1) = ((8 · 𝐾) + (5 − 1)))
17 4t2e8 11393 . . . . . . . . . . . 12 (4 · 2) = 8
1817eqcomi 2769 . . . . . . . . . . 11 8 = (4 · 2)
1918a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 = (4 · 2))
2019oveq1d 6829 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((4 · 2) · 𝐾))
21 4cn 11310 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℂ)
23 2cn 11303 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
25 nn0cn 11514 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℂ)
2622, 24, 25mul32d 10458 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 2) · 𝐾) = ((4 · 𝐾) · 2))
2720, 26eqtrd 2794 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((4 · 𝐾) · 2))
28 df-5 11294 . . . . . . . . . . 11 5 = (4 + 1)
2928oveq1i 6824 . . . . . . . . . 10 (5 − 1) = ((4 + 1) − 1)
30 pncan1 10666 . . . . . . . . . . 11 (4 ∈ ℂ → ((4 + 1) − 1) = 4)
3121, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((4 + 1) − 1) = 4
3229, 31eqtri 2782 . . . . . . . . 9 (5 − 1) = 4
3332a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (5 − 1) = 4)
3427, 33oveq12d 6832 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) + (5 − 1)) = (((4 · 𝐾) · 2) + 4))
3516, 34eqtrd 2794 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 5) − 1) = (((4 · 𝐾) · 2) + 4))
3635oveq1d 6829 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) + 4) / 2))
37 4nn0 11523 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℕ0
3837a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ0)
3938, 10nn0mulcld 11568 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℕ0)
4039nn0cnd 11565 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℂ)
4140, 24mulcld 10272 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) · 2) ∈ ℂ)
42 2rp 12050 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ+
4342a1i 11 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
4443rpcnne0d 12094 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
45 divdir 10922 . . . . . 6 ((((4 · 𝐾) · 2) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((4 · 𝐾) · 2) + 4) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (4 / 2)))
4641, 22, 44, 45syl3anc 1477 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((4 · 𝐾) · 2) + 4) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (4 / 2)))
47 2ne0 11325 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
4847a1i 11 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
4940, 24, 48divcan4d 11019 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) · 2) / 2) = (4 · 𝐾))
50 4d2e2 11396 . . . . . . 7 (4 / 2) = 2
5150a1i 11 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 / 2) = 2)
5249, 51oveq12d 6832 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (4 / 2)) = ((4 · 𝐾) + 2))
5336, 46, 523eqtrd 2798 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2) = ((4 · 𝐾) + 2))
54 4ne0 11329 . . . . . . . . . 10 4 ≠ 0
5521, 54pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
5655a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
57 divdir 10922 . . . . . . . 8 (((8 · 𝐾) ∈ ℂ ∧ 5 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → (((8 · 𝐾) + 5) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (5 / 4)))
5812, 14, 56, 57syl3anc 1477 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 5) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (5 / 4)))
59 8cn 11318 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℂ
6059a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
61 div23 10916 . . . . . . . . . 10 ((8 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
6260, 25, 56, 61syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
6318oveq1i 6824 . . . . . . . . . . . 12 (8 / 4) = ((4 · 2) / 4)
6423, 21, 54divcan3i 10983 . . . . . . . . . . . 12 ((4 · 2) / 4) = 2
6563, 64eqtri 2782 . . . . . . . . . . 11 (8 / 4) = 2
6665a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 / 4) = 2)
6766oveq1d 6829 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 / 4) · 𝐾) = (2 · 𝐾))
6862, 67eqtrd 2794 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = (2 · 𝐾))
6968oveq1d 6829 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) / 4) + (5 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (5 / 4)))
7058, 69eqtrd 2794 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 5) / 4) = ((2 · 𝐾) + (5 / 4)))
7170fveq2d 6357 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4)) = (⌊‘((2 · 𝐾) + (5 / 4))))
72 1lt4 11411 . . . . . 6 1 < 4
73 2nn0 11521 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
7473a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
7574, 10nn0mulcld 11568 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℕ0)
7675nn0zd 11692 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
7776peano2zd 11697 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝐾) + 1) ∈ ℤ)
78 1nn0 11520 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
7978a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℕ0)
80 4nn 11399 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ
8180a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ)
82 adddivflid 12833 . . . . . . . 8 ((((2 · 𝐾) + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (1 < 4 ↔ (⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (1 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
8377, 79, 81, 82syl3anc 1477 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 4 ↔ (⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (1 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
8424, 25mulcld 10272 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
8554a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ≠ 0)
8622, 85reccld 11006 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 / 4) ∈ ℂ)
8784, 15, 86addassd 10274 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝐾) + 1) + (1 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (1 + (1 / 4))))
8828oveq1i 6824 . . . . . . . . . . . . . 14 (5 / 4) = ((4 + 1) / 4)
89 ax-1cn 10206 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
9021, 89, 21, 54divdiri 10994 . . . . . . . . . . . . . 14 ((4 + 1) / 4) = ((4 / 4) + (1 / 4))
9121, 54dividi 10970 . . . . . . . . . . . . . . 15 (4 / 4) = 1
9291oveq1i 6824 . . . . . . . . . . . . . 14 ((4 / 4) + (1 / 4)) = (1 + (1 / 4))
9388, 90, 923eqtri 2786 . . . . . . . . . . . . 13 (5 / 4) = (1 + (1 / 4))
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℕ0 → (5 / 4) = (1 + (1 / 4)))
9594eqcomd 2766 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 + (1 / 4)) = (5 / 4))
9695oveq2d 6830 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝐾) + (1 + (1 / 4))) = ((2 · 𝐾) + (5 / 4)))
9787, 96eqtrd 2794 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝐾) + 1) + (1 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (5 / 4)))
9897fveq2d 6357 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (1 / 4))) = (⌊‘((2 · 𝐾) + (5 / 4))))
9998eqeq1d 2762 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (1 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1) ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (5 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
10083, 99bitrd 268 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 4 ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (5 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
10172, 100mpbii 223 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘((2 · 𝐾) + (5 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1))
10271, 101eqtrd 2794 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4)) = ((2 · 𝐾) + 1))
10353, 102oveq12d 6832 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4))) = (((4 · 𝐾) + 2) − ((2 · 𝐾) + 1)))
10475nn0cnd 11565 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
10540, 24, 104, 15addsub4d 10651 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) + 2) − ((2 · 𝐾) + 1)) = (((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) + (2 − 1)))
106 2t2e4 11389 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = 4
107106eqcomi 2769 . . . . . . . . 9 4 = (2 · 2)
108107a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 = (2 · 2))
109108oveq1d 6829 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = ((2 · 2) · 𝐾))
11024, 24, 25mulassd 10275 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 2) · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
111109, 110eqtrd 2794 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
112111oveq1d 6829 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)))
113 2txmxeqx 11361 . . . . . 6 ((2 · 𝐾) ∈ ℂ → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
114104, 113syl 17 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
115112, 114eqtrd 2794 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
116 2m1e1 11347 . . . . 5 (2 − 1) = 1
117116a1i 11 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 − 1) = 1)
118115, 117oveq12d 6832 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) + (2 − 1)) = ((2 · 𝐾) + 1))
119103, 105, 1183eqtrd 2798 . 2 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1))
1207, 119sylan9eqr 2816 1 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5)) → 𝑁 = ((2 · 𝐾) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153   < clt 10286  cmin 10478   / cdiv 10896  cn 11232  2c2 11282  4c4 11284  5c5 11285  8c8 11288  0cn0 11504  cz 11589  +crp 12045  cfl 12805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-fl 12807
This theorem is referenced by:  2lgslem3c1  25347
  Copyright terms: Public domain W3C validator