MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem3a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem3a 25342
Description: Lemma for 2lgslem3a1 25346. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2lgslem2.n 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
Assertion
Ref Expression
2lgslem3a ((𝐾 ∈ ℕ0𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1)) → 𝑁 = (2 · 𝐾))

Proof of Theorem 2lgslem3a
StepHypRef Expression
1 2lgslem2.n . . 3 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
2 oveq1 6822 . . . . 5 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → (𝑃 − 1) = (((8 · 𝐾) + 1) − 1))
32oveq1d 6830 . . . 4 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2))
4 oveq1 6822 . . . . 5 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → (𝑃 / 4) = (((8 · 𝐾) + 1) / 4))
54fveq2d 6358 . . . 4 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → (⌊‘(𝑃 / 4)) = (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4)))
63, 5oveq12d 6833 . . 3 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4))))
71, 6syl5eq 2807 . 2 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1) → 𝑁 = (((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4))))
8 8nn0 11528 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℕ0
98a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℕ0)
10 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0)
119, 10nn0mulcld 11569 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℕ0)
1211nn0cnd 11566 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℂ)
13 pncan1 10667 . . . . . . 7 ((8 · 𝐾) ∈ ℂ → (((8 · 𝐾) + 1) − 1) = (8 · 𝐾))
1412, 13syl 17 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 1) − 1) = (8 · 𝐾))
1514oveq1d 6830 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) = ((8 · 𝐾) / 2))
16 4cn 11311 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
17 2cn 11304 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
18 4t2e8 11394 . . . . . . . . . . 11 (4 · 2) = 8
1916, 17, 18mulcomli 10260 . . . . . . . . . 10 (2 · 4) = 8
2019eqcomi 2770 . . . . . . . . 9 8 = (2 · 4)
2120a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 = (2 · 4))
2221oveq1d 6830 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((2 · 4) · 𝐾))
2317a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
2416a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℂ)
25 nn0cn 11515 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℂ)
2623, 24, 25mulassd 10276 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 4) · 𝐾) = (2 · (4 · 𝐾)))
2722, 26eqtrd 2795 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = (2 · (4 · 𝐾)))
2827oveq1d 6830 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 2) = ((2 · (4 · 𝐾)) / 2))
29 4nn0 11524 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ0
3029a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ0)
3130, 10nn0mulcld 11569 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℕ0)
3231nn0cnd 11566 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℂ)
33 2ne0 11326 . . . . . . 7 2 ≠ 0
3433a1i 11 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
3532, 23, 34divcan3d 11019 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · (4 · 𝐾)) / 2) = (4 · 𝐾))
3615, 28, 353eqtrd 2799 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) = (4 · 𝐾))
37 1cnd 10269 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
38 4ne0 11330 . . . . . . . . . 10 4 ≠ 0
3916, 38pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
4039a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
41 divdir 10923 . . . . . . . 8 (((8 · 𝐾) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → (((8 · 𝐾) + 1) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (1 / 4)))
4212, 37, 40, 41syl3anc 1477 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 1) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (1 / 4)))
43 8cn 11319 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℂ
4443a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
45 div23 10917 . . . . . . . . . 10 ((8 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
4644, 25, 40, 45syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
4718eqcomi 2770 . . . . . . . . . . . . 13 8 = (4 · 2)
4847oveq1i 6825 . . . . . . . . . . . 12 (8 / 4) = ((4 · 2) / 4)
4917, 16, 38divcan3i 10984 . . . . . . . . . . . 12 ((4 · 2) / 4) = 2
5048, 49eqtri 2783 . . . . . . . . . . 11 (8 / 4) = 2
5150a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 / 4) = 2)
5251oveq1d 6830 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 / 4) · 𝐾) = (2 · 𝐾))
5346, 52eqtrd 2795 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = (2 · 𝐾))
5453oveq1d 6830 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) / 4) + (1 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (1 / 4)))
5542, 54eqtrd 2795 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 1) / 4) = ((2 · 𝐾) + (1 / 4)))
5655fveq2d 6358 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4)) = (⌊‘((2 · 𝐾) + (1 / 4))))
57 1lt4 11412 . . . . . 6 1 < 4
58 2nn0 11522 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
5958a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
6059, 10nn0mulcld 11569 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℕ0)
6160nn0zd 11693 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
62 1nn0 11521 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
6362a1i 11 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℕ0)
64 4nn 11400 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ
6564a1i 11 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ)
66 adddivflid 12834 . . . . . . 7 (((2 · 𝐾) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (1 < 4 ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (1 / 4))) = (2 · 𝐾)))
6761, 63, 65, 66syl3anc 1477 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 4 ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (1 / 4))) = (2 · 𝐾)))
6857, 67mpbii 223 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘((2 · 𝐾) + (1 / 4))) = (2 · 𝐾))
6956, 68eqtrd 2795 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4)) = (2 · 𝐾))
7036, 69oveq12d 6833 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4))) = ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)))
71 2t2e4 11390 . . . . . . . 8 (2 · 2) = 4
7271eqcomi 2770 . . . . . . 7 4 = (2 · 2)
7372a1i 11 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 = (2 · 2))
7473oveq1d 6830 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = ((2 · 2) · 𝐾))
7523, 23, 25mulassd 10276 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 2) · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
7674, 75eqtrd 2795 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
7776oveq1d 6830 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)))
7860nn0cnd 11566 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
79 2txmxeqx 11362 . . . 4 ((2 · 𝐾) ∈ ℂ → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
8078, 79syl 17 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
8170, 77, 803eqtrd 2799 . 2 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 1) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 1) / 4))) = (2 · 𝐾))
827, 81sylan9eqr 2817 1 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑃 = ((8 · 𝐾) + 1)) → 𝑁 = (2 · 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  wne 2933   class class class wbr 4805  cfv 6050  (class class class)co 6815  cc 10147  0cc0 10149  1c1 10150   + caddc 10152   · cmul 10154   < clt 10287  cmin 10479   / cdiv 10897  cn 11233  2c2 11283  4c4 11285  8c8 11289  0cn0 11505  cz 11590  cfl 12806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-sup 8516  df-inf 8517  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-rp 12047  df-fl 12808
This theorem is referenced by:  2lgslem3a1  25346
  Copyright terms: Public domain W3C validator