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Theorem 2lgslem3 25349
Description: Lemma 3 for 2lgs 25352. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2lgslem2.n 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
Assertion
Ref Expression
2lgslem3 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1))

Proof of Theorem 2lgslem3
StepHypRef Expression
1 nnz 11600 . . 3 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
2 lgsdir2lem3 25272 . . 3 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑃 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
31, 2sylan 561 . 2 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑃 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
4 elun 3902 . . 3 ((𝑃 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) ↔ ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝑃 mod 8) ∈ {3, 5}))
5 ovex 6822 . . . . . . . . 9 (𝑃 mod 8) ∈ V
65elpr 4336 . . . . . . . 8 ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝑃 mod 8) = 1 ∨ (𝑃 mod 8) = 7))
7 2lgslem2.n . . . . . . . . . . . . 13 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
872lgslem3a1 25345 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 1) → (𝑁 mod 2) = 0)
98a1d 25 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 1) → (¬ 2 ∥ 𝑃 → (𝑁 mod 2) = 0))
109expcom 398 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 mod 8) = 1 → (𝑃 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑃 → (𝑁 mod 2) = 0)))
1110impd 396 . . . . . . . . 9 ((𝑃 mod 8) = 1 → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = 0))
1272lgslem3d1 25348 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 7) → (𝑁 mod 2) = 0)
1312a1d 25 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 7) → (¬ 2 ∥ 𝑃 → (𝑁 mod 2) = 0))
1413expcom 398 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 mod 8) = 7 → (𝑃 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑃 → (𝑁 mod 2) = 0)))
1514impd 396 . . . . . . . . 9 ((𝑃 mod 8) = 7 → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = 0))
1611, 15jaoi 837 . . . . . . . 8 (((𝑃 mod 8) = 1 ∨ (𝑃 mod 8) = 7) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = 0))
176, 16sylbi 207 . . . . . . 7 ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = 0))
1817imp 393 . . . . . 6 (((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃)) → (𝑁 mod 2) = 0)
19 iftrue 4229 . . . . . . 7 ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0)
2019adantr 466 . . . . . 6 (((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃)) → if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0)
2118, 20eqtr4d 2807 . . . . 5 (((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃)) → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1))
2221ex 397 . . . 4 ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1)))
235elpr 4336 . . . . 5 ((𝑃 mod 8) ∈ {3, 5} ↔ ((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5))
2472lgslem3b1 25346 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 3) → (𝑁 mod 2) = 1)
2524expcom 398 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 mod 8) = 3 → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑁 mod 2) = 1))
2672lgslem3c1 25347 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 5) → (𝑁 mod 2) = 1)
2726expcom 398 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 mod 8) = 5 → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑁 mod 2) = 1))
2825, 27jaoi 837 . . . . . . . . 9 (((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5) → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑁 mod 2) = 1))
2928imp 393 . . . . . . . 8 ((((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5) ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 2) = 1)
30 1re 10240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ
31 1lt3 11397 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 < 3
3230, 31ltneii 10351 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ≠ 3
3332nesymi 2999 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ 3 = 1
34 3re 11295 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℝ
35 3lt7 11413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 < 7
3634, 35ltneii 10351 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ≠ 7
3736neii 2944 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ 3 = 7
3833, 37pm3.2i 447 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ 3 = 1 ∧ ¬ 3 = 7)
39 eqeq1 2774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 mod 8) = 3 → ((𝑃 mod 8) = 1 ↔ 3 = 1))
4039notbid 307 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 mod 8) = 3 → (¬ (𝑃 mod 8) = 1 ↔ ¬ 3 = 1))
41 eqeq1 2774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 mod 8) = 3 → ((𝑃 mod 8) = 7 ↔ 3 = 7))
4241notbid 307 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 mod 8) = 3 → (¬ (𝑃 mod 8) = 7 ↔ ¬ 3 = 7))
4340, 42anbi12d 608 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 mod 8) = 3 → ((¬ (𝑃 mod 8) = 1 ∧ ¬ (𝑃 mod 8) = 7) ↔ (¬ 3 = 1 ∧ ¬ 3 = 7)))
4438, 43mpbiri 248 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 mod 8) = 3 → (¬ (𝑃 mod 8) = 1 ∧ ¬ (𝑃 mod 8) = 7))
45 1lt5 11404 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 < 5
4630, 45ltneii 10351 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ≠ 5
4746nesymi 2999 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ 5 = 1
48 5re 11300 . . . . . . . . . . . . . . . 16 5 ∈ ℝ
49 5lt7 11411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 5 < 7
5048, 49ltneii 10351 . . . . . . . . . . . . . . 15 5 ≠ 7
5150neii 2944 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ 5 = 7
5247, 51pm3.2i 447 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ 5 = 1 ∧ ¬ 5 = 7)
53 eqeq1 2774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 mod 8) = 5 → ((𝑃 mod 8) = 1 ↔ 5 = 1))
5453notbid 307 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 mod 8) = 5 → (¬ (𝑃 mod 8) = 1 ↔ ¬ 5 = 1))
55 eqeq1 2774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 mod 8) = 5 → ((𝑃 mod 8) = 7 ↔ 5 = 7))
5655notbid 307 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 mod 8) = 5 → (¬ (𝑃 mod 8) = 7 ↔ ¬ 5 = 7))
5754, 56anbi12d 608 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 mod 8) = 5 → ((¬ (𝑃 mod 8) = 1 ∧ ¬ (𝑃 mod 8) = 7) ↔ (¬ 5 = 1 ∧ ¬ 5 = 7)))
5852, 57mpbiri 248 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 mod 8) = 5 → (¬ (𝑃 mod 8) = 1 ∧ ¬ (𝑃 mod 8) = 7))
5944, 58jaoi 837 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5) → (¬ (𝑃 mod 8) = 1 ∧ ¬ (𝑃 mod 8) = 7))
6059adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5) ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (¬ (𝑃 mod 8) = 1 ∧ ¬ (𝑃 mod 8) = 7))
61 ioran 912 . . . . . . . . . . 11 (¬ ((𝑃 mod 8) = 1 ∨ (𝑃 mod 8) = 7) ↔ (¬ (𝑃 mod 8) = 1 ∧ ¬ (𝑃 mod 8) = 7))
6261, 6xchnxbir 322 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (¬ (𝑃 mod 8) = 1 ∧ ¬ (𝑃 mod 8) = 7))
6360, 62sylibr 224 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5) ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})
6463iffalsed 4234 . . . . . . . 8 ((((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5) ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 1)
6529, 64eqtr4d 2807 . . . . . . 7 ((((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5) ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1))
6665a1d 25 . . . . . 6 ((((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5) ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ 𝑃 → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1)))
6766expimpd 441 . . . . 5 (((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1)))
6823, 67sylbi 207 . . . 4 ((𝑃 mod 8) ∈ {3, 5} → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1)))
6922, 68jaoi 837 . . 3 (((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝑃 mod 8) ∈ {3, 5}) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1)))
704, 69sylbi 207 . 2 ((𝑃 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1)))
713, 70mpcom 38 1 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  wo 826   = wceq 1630  wcel 2144  cun 3719  ifcif 4223  {cpr 4316   class class class wbr 4784  cfv 6031  (class class class)co 6792  0cc0 10137  1c1 10138  cmin 10467   / cdiv 10885  cn 11221  2c2 11271  3c3 11272  4c4 11273  5c5 11274  7c7 11276  8c8 11277  cz 11578  cfl 12798   mod cmo 12875  cdvds 15188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-ico 12385  df-fz 12533  df-fl 12800  df-mod 12876  df-dvds 15189
This theorem is referenced by:  2lgs  25352
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