MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem2 25341
Description: Lemma 2 for 2lgs 25353. (Contributed by AV, 20-Jun-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2lgslem2.n 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
Assertion
Ref Expression
2lgslem2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem 2lgslem2
StepHypRef Expression
1 2lgslem2.n . 2 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
2 simpl 468 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℙ)
3 elsng 4331 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ {2} ↔ 𝑃 = 2))
4 2z 11616 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
5 iddvds 15204 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℤ → 2 ∥ 2)
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . 8 2 ∥ 2
7 breq2 4791 . . . . . . . 8 (𝑃 = 2 → (2 ∥ 𝑃 ↔ 2 ∥ 2))
86, 7mpbiri 248 . . . . . . 7 (𝑃 = 2 → 2 ∥ 𝑃)
93, 8syl6bi 243 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ {2} → 2 ∥ 𝑃))
109con3dimp 395 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ¬ 𝑃 ∈ {2})
112, 10eldifd 3734 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
12 oddprm 15722 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
1312nnzd 11688 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
1411, 13syl 17 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
15 prmz 15596 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
1615zred 11689 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
17 4re 11303 . . . . . . 7 4 ∈ ℝ
1817a1i 11 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 4 ∈ ℝ)
19 4ne0 11323 . . . . . . 7 4 ≠ 0
2019a1i 11 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 4 ≠ 0)
2116, 18, 20redivcld 11059 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 / 4) ∈ ℝ)
2221flcld 12807 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
2322adantr 466 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
2414, 23zsubcld 11694 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) ∈ ℤ)
251, 24syl5eqel 2854 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑁 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  cdif 3720  {csn 4317   class class class wbr 4787  cfv 6030  (class class class)co 6796  cr 10141  0cc0 10142  1c1 10143  cmin 10472   / cdiv 10890  2c2 11276  4c4 11278  cz 11584  cfl 12799  cdvds 15189  cprime 15592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-inf 8509  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-rp 12036  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-dvds 15190  df-prm 15593
This theorem is referenced by:  2lgs  25353
  Copyright terms: Public domain W3C validator