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Theorem 2lgslem1b 25162
Description: Lemma 2 for 2lgslem1 25164. (Contributed by AV, 18-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
2lgslem1b.i 𝐼 = (𝐴...𝐵)
2lgslem1b.f 𝐹 = (𝑗𝐼 ↦ (𝑗 · 2))
Assertion
Ref Expression
2lgslem1b 𝐹:𝐼1-1-onto→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)}
Distinct variable group:   𝑖,𝐼,𝑗,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐵(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐹(𝑥,𝑖,𝑗)

Proof of Theorem 2lgslem1b
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2lgslem1b.f . . . 4 𝐹 = (𝑗𝐼 ↦ (𝑗 · 2))
2 elfzelz 12380 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝑗 ∈ ℤ)
3 2lgslem1b.i . . . . . . 7 𝐼 = (𝐴...𝐵)
42, 3eleq2s 2748 . . . . . 6 (𝑗𝐼𝑗 ∈ ℤ)
5 2z 11447 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
65a1i 11 . . . . . 6 (𝑗𝐼 → 2 ∈ ℤ)
74, 6zmulcld 11526 . . . . 5 (𝑗𝐼 → (𝑗 · 2) ∈ ℤ)
8 id 22 . . . . . 6 (𝑗𝐼𝑗𝐼)
9 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 · 2) = (𝑗 · 2))
109eqeq2d 2661 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 → ((𝑗 · 2) = (𝑖 · 2) ↔ (𝑗 · 2) = (𝑗 · 2)))
1110adantl 481 . . . . . 6 ((𝑗𝐼𝑖 = 𝑗) → ((𝑗 · 2) = (𝑖 · 2) ↔ (𝑗 · 2) = (𝑗 · 2)))
12 eqidd 2652 . . . . . 6 (𝑗𝐼 → (𝑗 · 2) = (𝑗 · 2))
138, 11, 12rspcedvd 3348 . . . . 5 (𝑗𝐼 → ∃𝑖𝐼 (𝑗 · 2) = (𝑖 · 2))
14 eqeq1 2655 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑗 · 2) → (𝑥 = (𝑖 · 2) ↔ (𝑗 · 2) = (𝑖 · 2)))
1514rexbidv 3081 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑗 · 2) → (∃𝑖𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2) ↔ ∃𝑖𝐼 (𝑗 · 2) = (𝑖 · 2)))
1615elrab 3396 . . . . 5 ((𝑗 · 2) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)} ↔ ((𝑗 · 2) ∈ ℤ ∧ ∃𝑖𝐼 (𝑗 · 2) = (𝑖 · 2)))
177, 13, 16sylanbrc 699 . . . 4 (𝑗𝐼 → (𝑗 · 2) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)})
181, 17fmpti 6423 . . 3 𝐹:𝐼⟶{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)}
191a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑦𝐼𝑧𝐼) → 𝐹 = (𝑗𝐼 ↦ (𝑗 · 2)))
20 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑦 → (𝑗 · 2) = (𝑦 · 2))
2120adantl 481 . . . . . . 7 (((𝑦𝐼𝑧𝐼) ∧ 𝑗 = 𝑦) → (𝑗 · 2) = (𝑦 · 2))
22 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝑦𝐼𝑧𝐼) → 𝑦𝐼)
23 ovexd 6720 . . . . . . 7 ((𝑦𝐼𝑧𝐼) → (𝑦 · 2) ∈ V)
2419, 21, 22, 23fvmptd 6327 . . . . . 6 ((𝑦𝐼𝑧𝐼) → (𝐹𝑦) = (𝑦 · 2))
25 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑧 → (𝑗 · 2) = (𝑧 · 2))
2625adantl 481 . . . . . . 7 (((𝑦𝐼𝑧𝐼) ∧ 𝑗 = 𝑧) → (𝑗 · 2) = (𝑧 · 2))
27 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝑦𝐼𝑧𝐼) → 𝑧𝐼)
28 ovexd 6720 . . . . . . 7 ((𝑦𝐼𝑧𝐼) → (𝑧 · 2) ∈ V)
2919, 26, 27, 28fvmptd 6327 . . . . . 6 ((𝑦𝐼𝑧𝐼) → (𝐹𝑧) = (𝑧 · 2))
3024, 29eqeq12d 2666 . . . . 5 ((𝑦𝐼𝑧𝐼) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) ↔ (𝑦 · 2) = (𝑧 · 2)))
31 elfzelz 12380 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝑦 ∈ ℤ)
3231, 3eleq2s 2748 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐼𝑦 ∈ ℤ)
3332zcnd 11521 . . . . . . . 8 (𝑦𝐼𝑦 ∈ ℂ)
3433adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑦𝐼𝑧𝐼) → 𝑦 ∈ ℂ)
35 elfzelz 12380 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝑧 ∈ ℤ)
3635, 3eleq2s 2748 . . . . . . . . 9 (𝑧𝐼𝑧 ∈ ℤ)
3736zcnd 11521 . . . . . . . 8 (𝑧𝐼𝑧 ∈ ℂ)
3837adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑦𝐼𝑧𝐼) → 𝑧 ∈ ℂ)
39 2cnd 11131 . . . . . . 7 ((𝑦𝐼𝑧𝐼) → 2 ∈ ℂ)
40 2ne0 11151 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
4140a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑦𝐼𝑧𝐼) → 2 ≠ 0)
4234, 38, 39, 41mulcan2d 10699 . . . . . 6 ((𝑦𝐼𝑧𝐼) → ((𝑦 · 2) = (𝑧 · 2) ↔ 𝑦 = 𝑧))
4342biimpd 219 . . . . 5 ((𝑦𝐼𝑧𝐼) → ((𝑦 · 2) = (𝑧 · 2) → 𝑦 = 𝑧))
4430, 43sylbid 230 . . . 4 ((𝑦𝐼𝑧𝐼) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
4544rgen2 3004 . . 3 𝑦𝐼𝑧𝐼 ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) → 𝑦 = 𝑧)
46 dff13 6552 . . 3 (𝐹:𝐼1-1→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)} ↔ (𝐹:𝐼⟶{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)} ∧ ∀𝑦𝐼𝑧𝐼 ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
4718, 45, 46mpbir2an 975 . 2 𝐹:𝐼1-1→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)}
48 oveq1 6697 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 · 2) = (𝑖 · 2))
4948eqeq2d 2661 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑖 → (𝑥 = (𝑗 · 2) ↔ 𝑥 = (𝑖 · 2)))
5049cbvrexv 3202 . . . . 5 (∃𝑗𝐼 𝑥 = (𝑗 · 2) ↔ ∃𝑖𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2))
51 elfzelz 12380 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝑖 ∈ ℤ)
525a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (𝐴...𝐵) → 2 ∈ ℤ)
5351, 52zmulcld 11526 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (𝐴...𝐵) → (𝑖 · 2) ∈ ℤ)
5453, 3eleq2s 2748 . . . . . . . 8 (𝑖𝐼 → (𝑖 · 2) ∈ ℤ)
55 eleq1 2718 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑖 · 2) → (𝑥 ∈ ℤ ↔ (𝑖 · 2) ∈ ℤ))
5654, 55syl5ibrcom 237 . . . . . . 7 (𝑖𝐼 → (𝑥 = (𝑖 · 2) → 𝑥 ∈ ℤ))
5756rexlimiv 3056 . . . . . 6 (∃𝑖𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2) → 𝑥 ∈ ℤ)
5857pm4.71ri 666 . . . . 5 (∃𝑖𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)))
5950, 58bitri 264 . . . 4 (∃𝑗𝐼 𝑥 = (𝑗 · 2) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)))
6059abbii 2768 . . 3 {𝑥 ∣ ∃𝑗𝐼 𝑥 = (𝑗 · 2)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2))}
611rnmpt 5403 . . 3 ran 𝐹 = {𝑥 ∣ ∃𝑗𝐼 𝑥 = (𝑗 · 2)}
62 df-rab 2950 . . 3 {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2))}
6360, 61, 623eqtr4i 2683 . 2 ran 𝐹 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)}
64 dff1o5 6184 . 2 (𝐹:𝐼1-1-onto→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)} ↔ (𝐹:𝐼1-1→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)} ∧ ran 𝐹 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)}))
6547, 63, 64mpbir2an 975 1 𝐹:𝐼1-1-onto→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  {cab 2637  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  Vcvv 3231  cmpt 4762  ran crn 5144  wf 5922  1-1wf1 5923  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974   · cmul 9979  2c2 11108  cz 11415  ...cfz 12364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365
This theorem is referenced by:  2lgslem1  25164
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