MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem1a1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem1a1 25234
Description: Lemma 1 for 2lgslem1a 25236. (Contributed by AV, 16-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
2lgslem1a1 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ∀𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑖 · 2) = ((𝑖 · 2) mod 𝑃))
Distinct variable group:   𝑃,𝑖

Proof of Theorem 2lgslem1a1
StepHypRef Expression
1 nnrp 11956 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ+)
21adantr 472 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℝ+)
3 elfzelz 12456 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑖 ∈ ℤ)
4 zre 11494 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℝ)
5 2re 11203 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
65a1i 11 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
74, 6remulcld 10183 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 2) ∈ ℝ)
83, 7syl 17 . . . . 5 (𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → (𝑖 · 2) ∈ ℝ)
92, 8anim12ci 592 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑖 · 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
10 elfznn 12484 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑖 ∈ ℕ)
11 nnre 11140 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℝ)
12 nnnn0 11412 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℕ0)
1312nn0ge0d 11467 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑖)
14 0le2 11224 . . . . . . . . 9 0 ≤ 2
155, 14pm3.2i 470 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)
1615a1i 11 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℕ → (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2))
17 mulge0 10659 . . . . . . 7 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑖) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)) → 0 ≤ (𝑖 · 2))
1811, 13, 16, 17syl21anc 1438 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑖 · 2))
1910, 18syl 17 . . . . 5 (𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 0 ≤ (𝑖 · 2))
2019adantl 473 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 0 ≤ (𝑖 · 2))
21 elfz2 12447 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))))
2243ad2ant3 1127 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℝ)
23 zre 11494 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ)
24233ad2ant2 1126 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ)
25 2pos 11225 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
265, 25pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
28 lemul1 10988 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ (𝑖 · 2) ≤ (((𝑃 − 1) / 2) · 2)))
2922, 24, 27, 28syl3anc 1439 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ (𝑖 · 2) ≤ (((𝑃 − 1) / 2) · 2)))
30 nncn 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℂ)
31 peano2cnm 10460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ ℂ → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
33 2cnd 11206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
34 2ne0 11226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ≠ 0
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
3632, 33, 35divcan1d 10915 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℕ → (((𝑃 − 1) / 2) · 2) = (𝑃 − 1))
3736adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (((𝑃 − 1) / 2) · 2) = (𝑃 − 1))
3837adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃)) → (((𝑃 − 1) / 2) · 2) = (𝑃 − 1))
3938breq2d 4772 . . . . . . . . . . . 12 (((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃)) → ((𝑖 · 2) ≤ (((𝑃 − 1) / 2) · 2) ↔ (𝑖 · 2) ≤ (𝑃 − 1)))
40 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℤ)
41 2z 11522 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℤ
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
4340, 42zmulcld 11601 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 2) ∈ ℤ)
44433ad2ant3 1127 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 · 2) ∈ ℤ)
45 nnz 11512 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
4645adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
47 zltlem1 11543 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 · 2) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑖 · 2) < 𝑃 ↔ (𝑖 · 2) ≤ (𝑃 − 1)))
4844, 46, 47syl2an 495 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃)) → ((𝑖 · 2) < 𝑃 ↔ (𝑖 · 2) ≤ (𝑃 − 1)))
4948biimprd 238 . . . . . . . . . . . 12 (((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃)) → ((𝑖 · 2) ≤ (𝑃 − 1) → (𝑖 · 2) < 𝑃))
5039, 49sylbid 230 . . . . . . . . . . 11 (((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃)) → ((𝑖 · 2) ≤ (((𝑃 − 1) / 2) · 2) → (𝑖 · 2) < 𝑃))
5150ex 449 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((𝑖 · 2) ≤ (((𝑃 − 1) / 2) · 2) → (𝑖 · 2) < 𝑃)))
5251com23 86 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝑖 · 2) ≤ (((𝑃 − 1) / 2) · 2) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑖 · 2) < 𝑃)))
5329, 52sylbid 230 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑖 · 2) < 𝑃)))
5453a1d 25 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (1 ≤ 𝑖 → (𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑖 · 2) < 𝑃))))
5554imp32 448 . . . . . 6 (((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑖 · 2) < 𝑃))
5621, 55sylbi 207 . . . . 5 (𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑖 · 2) < 𝑃))
5756impcom 445 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑖 · 2) < 𝑃)
58 modid 12810 . . . 4 ((((𝑖 · 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑖 · 2) ∧ (𝑖 · 2) < 𝑃)) → ((𝑖 · 2) mod 𝑃) = (𝑖 · 2))
599, 20, 57, 58syl12anc 1437 . . 3 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑖 · 2) mod 𝑃) = (𝑖 · 2))
6059eqcomd 2730 . 2 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑖 · 2) = ((𝑖 · 2) mod 𝑃))
6160ralrimiva 3068 1 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ∀𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑖 · 2) = ((𝑖 · 2) mod 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103  wne 2896  wral 3014   class class class wbr 4760  (class class class)co 6765  cc 10047  cr 10048  0cc0 10049  1c1 10050   · cmul 10054   < clt 10187  cle 10188  cmin 10379   / cdiv 10797  cn 11133  2c2 11183  cz 11490  +crp 11946  ...cfz 12440   mod cmo 12783  cdvds 15103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-sup 8464  df-inf 8465  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-rp 11947  df-fz 12441  df-fl 12708  df-mod 12784
This theorem is referenced by:  2lgslem1a  25236
  Copyright terms: Public domain W3C validator