Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgs 25331
 Description: The second supplement to the law of quadratic reciprocity (for the Legendre symbol extended to arbitrary primes as second argument). Two is a square modulo a prime 𝑃 iff 𝑃≡±1 (mod 8), see first case of theorem 9.5 in [ApostolNT] p. 181. This theorem justifies our definition of (𝑁 /L 2) (lgs2 25238) to some degree, by demanding that reciprocity extend to the case 𝑄 = 2. (Proposed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.) (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
2lgs (𝑃 ∈ ℙ → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))

Proof of Theorem 2lgs
Dummy variables 𝑖 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prm2orodd 15606 . 2 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑃))
2 2lgslem4 25330 . . . . . 6 ((2 /L 2) = 1 ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})
32a1i 11 . . . . 5 (𝑃 = 2 → ((2 /L 2) = 1 ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7}))
4 oveq2 6821 . . . . . 6 (𝑃 = 2 → (2 /L 𝑃) = (2 /L 2))
54eqeq1d 2762 . . . . 5 (𝑃 = 2 → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (2 /L 2) = 1))
6 oveq1 6820 . . . . . 6 (𝑃 = 2 → (𝑃 mod 8) = (2 mod 8))
76eleq1d 2824 . . . . 5 (𝑃 = 2 → ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7}))
83, 5, 73bitr4d 300 . . . 4 (𝑃 = 2 → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
98a1d 25 . . 3 (𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})))
10 2prm 15607 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℙ
11 prmnn 15590 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
12 dvdsprime 15602 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ 2 ↔ (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 1)))
1310, 11, 12sylancr 698 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ 2 ↔ (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 1)))
14 z2even 15308 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∥ 2
15 breq2 4808 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 = 2 → (2 ∥ 𝑃 ↔ 2 ∥ 2))
1614, 15mpbiri 248 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = 2 → 2 ∥ 𝑃)
1716a1d 25 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ → 2 ∥ 𝑃))
18 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ 1 ∈ ℙ))
19 1nprm 15594 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 1 ∈ ℙ
2019pm2.21i 116 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℙ → 2 ∥ 𝑃)
2118, 20syl6bi 243 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ → 2 ∥ 𝑃))
2217, 21jaoi 393 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 1) → (𝑃 ∈ ℙ → 2 ∥ 𝑃))
2322com12 32 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 1) → 2 ∥ 𝑃))
2413, 23sylbid 230 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ 2 → 2 ∥ 𝑃))
2524con3dimp 456 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ¬ 𝑃 ∥ 2)
26 2z 11601 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
2725, 26jctil 561 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (2 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 2))
28 2lgslem1 25318 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (♯‘{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))}) = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))))
2928eqcomd 2766 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (♯‘{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))}))
30 nnoddn2prmb 15720 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
3130biimpri 218 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
32313ad2ant1 1128 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 2) ∧ (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (♯‘{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))})) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
33 eqid 2760 . . . . . . . 8 ((𝑃 − 1) / 2) = ((𝑃 − 1) / 2)
34 eqid 2760 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ if((𝑦 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑦 · 2), (𝑃 − (𝑦 · 2)))) = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ if((𝑦 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑦 · 2), (𝑃 − (𝑦 · 2))))
35 eqid 2760 . . . . . . . 8 (⌊‘(𝑃 / 4)) = (⌊‘(𝑃 / 4))
36 eqid 2760 . . . . . . . 8 (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
3732, 33, 34, 35, 36gausslemma2d 25298 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 2) ∧ (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (♯‘{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))})) → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))))
3837eqeq1d 2762 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 2) ∧ (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (♯‘{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))})) → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (-1↑(((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))) = 1))
3927, 29, 38mpd3an23 1575 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (-1↑(((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))) = 1))
40362lgslem2 25319 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) ∈ ℤ)
41 m1exp1 15295 . . . . . 6 ((((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) ∈ ℤ → ((-1↑(((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))) = 1 ↔ 2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))))
4240, 41syl 17 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((-1↑(((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))) = 1 ↔ 2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))))
43 2nn 11377 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
44 dvdsval3 15186 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℕ ∧ (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) ∈ ℤ) → (2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) ↔ ((((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) mod 2) = 0))
4543, 40, 44sylancr 698 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) ↔ ((((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) mod 2) = 0))
46362lgslem3 25328 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1))
4711, 46sylan 489 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1))
4847eqeq1d 2762 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (((((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) mod 2) = 0 ↔ if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0))
49 ax-1 6 . . . . . . . . 9 ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0 → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
50 iffalse 4239 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 1)
5150eqeq1d 2762 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0 ↔ 1 = 0))
52 ax-1ne0 10197 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ 0
53 eqneqall 2943 . . . . . . . . . . 11 (1 = 0 → (1 ≠ 0 → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
5452, 53mpi 20 . . . . . . . . . 10 (1 = 0 → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})
5551, 54syl6bi 243 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0 → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
5649, 55pm2.61i 176 . . . . . . . 8 (if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0 → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})
57 iftrue 4236 . . . . . . . 8 ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0)
5856, 57impbii 199 . . . . . . 7 (if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})
5958a1i 11 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
6045, 48, 593bitrd 294 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
6139, 42, 603bitrd 294 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
6261expcom 450 . . 3 (¬ 2 ∥ 𝑃 → (𝑃 ∈ ℙ → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})))
639, 62jaoi 393 . 2 ((𝑃 = 2 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑃 ∈ ℙ → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})))
641, 63mpcom 38 1 (𝑃 ∈ ℙ → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∃wrex 3051  {crab 3054   ∖ cdif 3712  ifcif 4230  {csn 4321  {cpr 4323   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  0cc0 10128  1c1 10129   · cmul 10133   < clt 10266   − cmin 10458  -cneg 10459   / cdiv 10876  ℕcn 11212  2c2 11262  4c4 11264  7c7 11267  8c8 11268  ℤcz 11569  ...cfz 12519  ⌊cfl 12785   mod cmo 12862  ↑cexp 13054  ♯chash 13311   ∥ cdvds 15182  ℙcprime 15587   /L clgs 25218 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-ioo 12372  df-ico 12374  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-prod 14835  df-dvds 15183  df-gcd 15419  df-prm 15588  df-phi 15673  df-pc 15744  df-lgs 25219 This theorem is referenced by:  2lgsoddprm  25340  fmtnoprmfac2lem1  41988  sfprmdvdsmersenne  42030
 Copyright terms: Public domain W3C validator