Theorem 2exp8 16002

Description: Two to the eighth power is 256. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2exp8	⊢ (2↑8) = ;;256

Proof of Theorem 2exp8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 11510	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 11512	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3	2	nn0cni 11505	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		2cn 11292	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		4t2e8 11382	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
6	3, 4, 5	mulcomli 10248	. 2 ⊢ (2 · 4) = 8
7		2exp4 16000	. 2 ⊢ (2↑4) = ;16
8		1nn0 11509	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		6nn0 11514	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 11713	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
11		eqid 2770	. . 3 ⊢ ;16 = ;16
12		9nn0 11517	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
13	10	nn0cni 11505	. . . . 5 ⊢ ;16 ∈ ℂ
14	13	mulid1i 10243	. . . 4 ⊢ (;16 · 1) = ;16
15		1p1e2 11335	. . . 4 ⊢ (1 + 1) = 2
16		5nn0 11513	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
17		9cn 11309	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℂ
18		6cn 11303	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
19		9p6e15 11824	. . . . 5 ⊢ (9 + 6) = ;15
20	17, 18, 19	addcomli 10429	. . . 4 ⊢ (6 + 9) = ;15
21	8, 9, 12, 14, 15, 16, 20	decaddci 11780	. . 3 ⊢ ((;16 · 1) + 9) = ;25
22		3nn0 11511	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
23	18	mulid2i 10244	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
24	23	oveq1i 6802	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + 3) = (6 + 3)
25		6p3e9 11371	. . . . 5 ⊢ (6 + 3) = 9
26	24, 25	eqtri 2792	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + 3) = 9
27		6t6e36 11846	. . . 4 ⊢ (6 · 6) = ;36
28	9, 8, 9, 11, 9, 22, 26, 27	decmul1c 11787	. . 3 ⊢ (;16 · 6) = ;96
29	10, 8, 9, 11, 9, 12, 21, 28	decmul2c 11789	. 2 ⊢ (;16 · ;16) = ;;256
30	1, 2, 6, 7, 29	numexp2x 15989	1 ⊢ (2↑8) = ;;256

Syntax hints:   = wceq 1630  (class class class)co 6792  1c1 10138   + caddc 10140   · cmul 10142  2c2 11271  3c3 11272  4c4 11273  5c5 11274  6c6 11275  8c8 11277  9c9 11278  ;cdc 11694  ↑cexp 13066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-seq 13008  df-exp 13067

This theorem is referenced by:  2exp16  16003  2503lem1  16050  quart1lem  24802  quart1  24803  fmtno3  41981  fmtno4sqrt  42001  2exp11  42035