Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2exp16 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2exp16 15920
 Description: Two to the sixteenth power is 65536. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
2exp16 (2↑16) = 65536

Proof of Theorem 2exp16
StepHypRef Expression
1 2nn0 11422 . 2 2 ∈ ℕ0
2 8nn0 11428 . 2 8 ∈ ℕ0
3 8cn 11219 . . 3 8 ∈ ℂ
4 2cn 11204 . . 3 2 ∈ ℂ
5 8t2e16 11767 . . 3 (8 · 2) = 16
63, 4, 5mulcomli 10160 . 2 (2 · 8) = 16
7 2exp8 15919 . 2 (2↑8) = 256
8 5nn0 11425 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
91, 8deccl 11625 . . . 4 25 ∈ ℕ0
10 6nn0 11426 . . . 4 6 ∈ ℕ0
119, 10deccl 11625 . . 3 256 ∈ ℕ0
12 eqid 2724 . . 3 256 = 256
13 1nn0 11421 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
1413, 8deccl 11625 . . . 4 15 ∈ ℕ0
15 3nn0 11423 . . . 4 3 ∈ ℕ0
1614, 15deccl 11625 . . 3 153 ∈ ℕ0
17 eqid 2724 . . . 4 25 = 25
18 eqid 2724 . . . 4 153 = 153
1913, 1deccl 11625 . . . . 5 12 ∈ ℕ0
2019, 2deccl 11625 . . . 4 128 ∈ ℕ0
21 4nn0 11424 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
2213, 21deccl 11625 . . . . 5 14 ∈ ℕ0
23 eqid 2724 . . . . . 6 15 = 15
24 eqid 2724 . . . . . 6 128 = 128
25 0nn0 11420 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
2613dec0h 11635 . . . . . . . 8 1 = 01
27 eqid 2724 . . . . . . . 8 12 = 12
28 0p1e1 11245 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
29 1p2e3 11265 . . . . . . . 8 (1 + 2) = 3
3025, 13, 13, 1, 26, 27, 28, 29decadd 11683 . . . . . . 7 (1 + 12) = 13
31 3p1e4 11266 . . . . . . 7 (3 + 1) = 4
3213, 15, 13, 30, 31decaddi 11692 . . . . . 6 ((1 + 12) + 1) = 14
33 5cn 11213 . . . . . . 7 5 ∈ ℂ
34 8p5e13 11728 . . . . . . 7 (8 + 5) = 13
353, 33, 34addcomli 10341 . . . . . 6 (5 + 8) = 13
3613, 8, 19, 2, 23, 24, 32, 15, 35decaddc 11685 . . . . 5 (15 + 128) = 143
37 eqid 2724 . . . . . . 7 14 = 14
38 4p1e5 11267 . . . . . . 7 (4 + 1) = 5
3913, 21, 13, 37, 38decaddi 11692 . . . . . 6 (14 + 1) = 15
40 2t2e4 11290 . . . . . . . 8 (2 · 2) = 4
41 1p1e2 11247 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
4240, 41oveq12i 6777 . . . . . . 7 ((2 · 2) + (1 + 1)) = (4 + 2)
43 4p2e6 11275 . . . . . . 7 (4 + 2) = 6
4442, 43eqtri 2746 . . . . . 6 ((2 · 2) + (1 + 1)) = 6
45 5t2e10 11747 . . . . . . 7 (5 · 2) = 10
4633addid2i 10337 . . . . . . 7 (0 + 5) = 5
4713, 25, 8, 45, 46decaddi 11692 . . . . . 6 ((5 · 2) + 5) = 15
481, 8, 13, 8, 17, 39, 1, 8, 13, 44, 47decmac 11679 . . . . 5 ((25 · 2) + (14 + 1)) = 65
49 6t2e12 11754 . . . . . 6 (6 · 2) = 12
50 3cn 11208 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
51 3p2e5 11273 . . . . . . 7 (3 + 2) = 5
5250, 4, 51addcomli 10341 . . . . . 6 (2 + 3) = 5
5313, 1, 15, 49, 52decaddi 11692 . . . . 5 ((6 · 2) + 3) = 15
549, 10, 22, 15, 12, 36, 1, 8, 13, 48, 53decmac 11679 . . . 4 ((256 · 2) + (15 + 128)) = 655
5515dec0h 11635 . . . . 5 3 = 03
5650addid2i 10337 . . . . . . 7 (0 + 3) = 3
5756, 55eqtri 2746 . . . . . 6 (0 + 3) = 03
584addid2i 10337 . . . . . . . 8 (0 + 2) = 2
5958oveq2i 6776 . . . . . . 7 ((2 · 5) + (0 + 2)) = ((2 · 5) + 2)
6033, 4, 45mulcomli 10160 . . . . . . . 8 (2 · 5) = 10
6113, 25, 1, 60, 58decaddi 11692 . . . . . . 7 ((2 · 5) + 2) = 12
6259, 61eqtri 2746 . . . . . 6 ((2 · 5) + (0 + 2)) = 12
63 5t5e25 11752 . . . . . . 7 (5 · 5) = 25
64 5p3e8 11279 . . . . . . 7 (5 + 3) = 8
651, 8, 15, 63, 64decaddi 11692 . . . . . 6 ((5 · 5) + 3) = 28
661, 8, 25, 15, 17, 57, 8, 2, 1, 62, 65decmac 11679 . . . . 5 ((25 · 5) + (0 + 3)) = 128
67 6t5e30 11757 . . . . . 6 (6 · 5) = 30
6815, 25, 15, 67, 56decaddi 11692 . . . . 5 ((6 · 5) + 3) = 33
699, 10, 25, 15, 12, 55, 8, 15, 15, 66, 68decmac 11679 . . . 4 ((256 · 5) + 3) = 1283
701, 8, 14, 15, 17, 18, 11, 15, 20, 54, 69decma2c 11681 . . 3 ((256 · 25) + 153) = 6553
71 6cn 11215 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
7271, 4, 49mulcomli 10160 . . . . . 6 (2 · 6) = 12
7313, 1, 15, 72, 52decaddi 11692 . . . . 5 ((2 · 6) + 3) = 15
7471, 33, 67mulcomli 10160 . . . . . 6 (5 · 6) = 30
7515, 25, 15, 74, 56decaddi 11692 . . . . 5 ((5 · 6) + 3) = 33
761, 8, 15, 17, 10, 15, 15, 73, 75decrmac 11690 . . . 4 ((25 · 6) + 3) = 153
77 6t6e36 11759 . . . 4 (6 · 6) = 36
7810, 9, 10, 12, 10, 15, 76, 77decmul1c 11700 . . 3 (256 · 6) = 1536
7911, 9, 10, 12, 10, 16, 70, 78decmul2c 11702 . 2 (256 · 256) = 65536
801, 2, 6, 7, 79numexp2x 15906 1 (2↑16) = 65536
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1596  (class class class)co 6765  0cc0 10049  1c1 10050   + caddc 10052   · cmul 10054  2c2 11183  3c3 11184  4c4 11185  5c5 11186  6c6 11187  8c8 11189  ;cdc 11606  ↑cexp 12975 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-seq 12917  df-exp 12976 This theorem is referenced by:  1259lem1  15961  fmtno4  41891
 Copyright terms: Public domain W3C validator