MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2ecoptocl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2ecoptocl 7990
Description: Implicit substitution of classes for equivalence classes of ordered pairs. (Contributed by NM, 23-Jul-1995.)
Hypotheses
Ref Expression
2ecoptocl.1 𝑆 = ((𝐶 × 𝐷) / 𝑅)
2ecoptocl.2 ([⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 = 𝐴 → (𝜑𝜓))
2ecoptocl.3 ([⟨𝑧, 𝑤⟩]𝑅 = 𝐵 → (𝜓𝜒))
2ecoptocl.4 (((𝑥𝐶𝑦𝐷) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) → 𝜑)
Assertion
Ref Expression
2ecoptocl ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → 𝜒)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝐴   𝑧,𝐵,𝑤   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧,𝑤   𝑧,𝑆,𝑤   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤   𝜓,𝑥,𝑦   𝜒,𝑧,𝑤
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝜓(𝑧,𝑤)   𝜒(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem 2ecoptocl
StepHypRef Expression
1 2ecoptocl.1 . . 3 𝑆 = ((𝐶 × 𝐷) / 𝑅)
2 2ecoptocl.3 . . . 4 ([⟨𝑧, 𝑤⟩]𝑅 = 𝐵 → (𝜓𝜒))
32imbi2d 329 . . 3 ([⟨𝑧, 𝑤⟩]𝑅 = 𝐵 → ((𝐴𝑆𝜓) ↔ (𝐴𝑆𝜒)))
4 2ecoptocl.2 . . . . . 6 ([⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 = 𝐴 → (𝜑𝜓))
54imbi2d 329 . . . . 5 ([⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 = 𝐴 → (((𝑧𝐶𝑤𝐷) → 𝜑) ↔ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) → 𝜓)))
6 2ecoptocl.4 . . . . . 6 (((𝑥𝐶𝑦𝐷) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) → 𝜑)
76ex 397 . . . . 5 ((𝑥𝐶𝑦𝐷) → ((𝑧𝐶𝑤𝐷) → 𝜑))
81, 5, 7ecoptocl 7989 . . . 4 (𝐴𝑆 → ((𝑧𝐶𝑤𝐷) → 𝜓))
98com12 32 . . 3 ((𝑧𝐶𝑤𝐷) → (𝐴𝑆𝜓))
101, 3, 9ecoptocl 7989 . 2 (𝐵𝑆 → (𝐴𝑆𝜒))
1110impcom 394 1 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → 𝜒)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  cop 4322   × cxp 5247  [cec 7894   / cqs 7895
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pr 5034
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-br 4787  df-opab 4847  df-xp 5255  df-cnv 5257  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-ec 7898  df-qs 7902
This theorem is referenced by:  3ecoptocl  7991  ecovcom  8006  addclsr  10106  mulclsr  10107  ltsosr  10117  mulgt0sr  10128
  Copyright terms: Public domain W3C validator