Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2basgen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2basgen 21014
 Description: Conditions that determine the equality of two generated topologies. (Contributed by NM, 8-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
2basgen ((𝐵𝐶𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐵) = (topGen‘𝐶))

Proof of Theorem 2basgen
StepHypRef Expression
1 fvex 6342 . . . . 5 (topGen‘𝐵) ∈ V
21ssex 4933 . . . 4 (𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵) → 𝐶 ∈ V)
32adantl 467 . . 3 ((𝐵𝐶𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐶 ∈ V)
4 simpl 468 . . 3 ((𝐵𝐶𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐵𝐶)
5 tgss 20992 . . 3 ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐵𝐶) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))
63, 4, 5syl2anc 565 . 2 ((𝐵𝐶𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))
7 simpr 471 . . 3 ((𝐵𝐶𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵))
8 ssexg 4935 . . . . 5 ((𝐵𝐶𝐶 ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
92, 8sylan2 572 . . . 4 ((𝐵𝐶𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
10 tgss3 21010 . . . 4 ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((topGen‘𝐶) ⊆ (topGen‘𝐵) ↔ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)))
113, 9, 10syl2anc 565 . . 3 ((𝐵𝐶𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → ((topGen‘𝐶) ⊆ (topGen‘𝐵) ↔ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)))
127, 11mpbird 247 . 2 ((𝐵𝐶𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐶) ⊆ (topGen‘𝐵))
136, 12eqssd 3767 1 ((𝐵𝐶𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐵) = (topGen‘𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  Vcvv 3349   ⊆ wss 3721  ‘cfv 6031  topGenctg 16305 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fv 6039  df-topgen 16311 This theorem is referenced by:  leordtval2  21236  2ndcsb  21472  txbasval  21629  prdsxmslem2  22553  tgioo  22818  tgqioo  22822
 Copyright terms: Public domain W3C validator