Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2atm2atN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2atm2atN 35593
Description: Two joins with a common atom have a nonzero meet. (Contributed by NM, 4-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2atm2at.j = (join‘𝐾)
2atm2at.m = (meet‘𝐾)
2atm2at.z 0 = (0.‘𝐾)
2atm2at.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2atm2atN ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) ≠ 0 )

Proof of Theorem 2atm2atN
StepHypRef Expression
1 hlop 35171 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
21adantr 466 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐾 ∈ OP)
3 simpr3 1237 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅𝐴)
4 2atm2at.z . . . . 5 0 = (0.‘𝐾)
5 eqid 2771 . . . . 5 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
6 2atm2at.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
74, 5, 60ltat 35100 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑅𝐴) → 0 (lt‘𝐾)𝑅)
82, 3, 7syl2anc 573 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 0 (lt‘𝐾)𝑅)
9 simpl 468 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
10 simpr1 1233 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑃𝐴)
11 eqid 2771 . . . . . 6 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
12 2atm2at.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
1311, 12, 6hlatlej1 35183 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑃𝐴) → 𝑅(le‘𝐾)(𝑅 𝑃))
149, 3, 10, 13syl3anc 1476 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅(le‘𝐾)(𝑅 𝑃))
15 simpr2 1235 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑄𝐴)
1611, 12, 6hlatlej1 35183 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑄𝐴) → 𝑅(le‘𝐾)(𝑅 𝑄))
179, 3, 15, 16syl3anc 1476 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅(le‘𝐾)(𝑅 𝑄))
18 hllat 35172 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
1918adantr 466 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
20 eqid 2771 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2120, 6atbase 35098 . . . . . 6 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
223, 21syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
2320, 12, 6hlatjcl 35175 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑃𝐴) → (𝑅 𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
249, 3, 10, 23syl3anc 1476 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑅 𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
2520, 12, 6hlatjcl 35175 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑄𝐴) → (𝑅 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
269, 3, 15, 25syl3anc 1476 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑅 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
27 2atm2at.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
2820, 11, 27latlem12 17286 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 𝑃) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑅(le‘𝐾)(𝑅 𝑃) ∧ 𝑅(le‘𝐾)(𝑅 𝑄)) ↔ 𝑅(le‘𝐾)((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄))))
2919, 22, 24, 26, 28syl13anc 1478 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑅(le‘𝐾)(𝑅 𝑃) ∧ 𝑅(le‘𝐾)(𝑅 𝑄)) ↔ 𝑅(le‘𝐾)((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄))))
3014, 17, 29mpbi2and 691 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅(le‘𝐾)((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)))
31 hlpos 35174 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
3231adantr 466 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐾 ∈ Poset)
3320, 4op0cl 34993 . . . . 5 (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
342, 33syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
3520, 27latmcl 17260 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 𝑃) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) ∈ (Base‘𝐾))
3619, 24, 26, 35syl3anc 1476 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) ∈ (Base‘𝐾))
3720, 11, 5pltletr 17179 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) ∈ (Base‘𝐾))) → (( 0 (lt‘𝐾)𝑅𝑅(le‘𝐾)((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄))) → 0 (lt‘𝐾)((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄))))
3832, 34, 22, 36, 37syl13anc 1478 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (( 0 (lt‘𝐾)𝑅𝑅(le‘𝐾)((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄))) → 0 (lt‘𝐾)((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄))))
398, 30, 38mp2and 679 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 0 (lt‘𝐾)((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)))
4020, 5, 4opltn0 34999 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) ∈ (Base‘𝐾)) → ( 0 (lt‘𝐾)((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) ↔ ((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) ≠ 0 ))
412, 36, 40syl2anc 573 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ( 0 (lt‘𝐾)((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) ↔ ((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) ≠ 0 ))
4239, 41mpbid 222 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) ≠ 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  lecple 16156  Posetcpo 17148  ltcplt 17149  joincjn 17152  meetcmee 17153  0.cp0 17245  Latclat 17253  OPcops 34981  Atomscatm 35072  HLchlt 35159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-lat 17254  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator