Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  257prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 257prm 41798
Description: 257 is a prime number (the fourth Fermat prime). (Contributed by AV, 15-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
257prm 257 ∈ ℙ

Proof of Theorem 257prm
StepHypRef Expression
1 2nn0 11347 . . . 4 2 ∈ ℕ0
2 5nn0 11350 . . . 4 5 ∈ ℕ0
31, 2deccl 11550 . . 3 25 ∈ ℕ0
4 7nn 11228 . . 3 7 ∈ ℕ
53, 4decnncl 11556 . 2 257 ∈ ℕ
6 8nn0 11353 . . 3 8 ∈ ℕ0
7 4nn0 11349 . . 3 4 ∈ ℕ0
8 7nn0 11352 . . 3 7 ∈ ℕ0
9 1nn0 11346 . . 3 1 ∈ ℕ0
10 2lt8 11258 . . 3 2 < 8
11 5lt10 11715 . . 3 5 < 10
12 7lt10 11713 . . 3 7 < 10
131, 6, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 123decltc 11576 . 2 257 < 841
14 5nn 11226 . . . 4 5 ∈ ℕ
151, 14decnncl 11556 . . 3 25 ∈ ℕ
16 1lt10 11719 . . 3 1 < 10
1715, 8, 9, 16declti 11584 . 2 1 < 257
18 3nn0 11348 . . 3 3 ∈ ℕ0
19 3t2e6 11217 . . 3 (3 · 2) = 6
20 df-7 11122 . . 3 7 = (6 + 1)
213, 18, 19, 20dec2dvds 15814 . 2 ¬ 2 ∥ 257
22 3nn 11224 . . . 4 3 ∈ ℕ
23 2nn 11223 . . . 4 2 ∈ ℕ
24 3cn 11133 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
2524mulid1i 10080 . . . . . 6 (3 · 1) = 3
2625oveq1i 6700 . . . . 5 ((3 · 1) + 2) = (3 + 2)
27 3p2e5 11198 . . . . 5 (3 + 2) = 5
2826, 27eqtri 2673 . . . 4 ((3 · 1) + 2) = 5
29 2lt3 11233 . . . 4 2 < 3
3022, 9, 23, 28, 29ndvdsi 15183 . . 3 ¬ 3 ∥ 5
311, 2, 83dvds2dec 15103 . . . 4 (3 ∥ 257 ↔ 3 ∥ ((2 + 5) + 7))
32 5cn 11138 . . . . . . . 8 5 ∈ ℂ
33 2cn 11129 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
34 5p2e7 11203 . . . . . . . 8 (5 + 2) = 7
3532, 33, 34addcomli 10266 . . . . . . 7 (2 + 5) = 7
3635oveq1i 6700 . . . . . 6 ((2 + 5) + 7) = (7 + 7)
37 7p7e14 11647 . . . . . 6 (7 + 7) = 14
3836, 37eqtri 2673 . . . . 5 ((2 + 5) + 7) = 14
3938breq2i 4693 . . . 4 (3 ∥ ((2 + 5) + 7) ↔ 3 ∥ 14)
409, 73dvdsdec 15101 . . . . 5 (3 ∥ 14 ↔ 3 ∥ (1 + 4))
41 4cn 11136 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
42 ax-1cn 10032 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
43 4p1e5 11192 . . . . . . 7 (4 + 1) = 5
4441, 42, 43addcomli 10266 . . . . . 6 (1 + 4) = 5
4544breq2i 4693 . . . . 5 (3 ∥ (1 + 4) ↔ 3 ∥ 5)
4640, 45bitri 264 . . . 4 (3 ∥ 14 ↔ 3 ∥ 5)
4731, 39, 463bitri 286 . . 3 (3 ∥ 257 ↔ 3 ∥ 5)
4830, 47mtbir 312 . 2 ¬ 3 ∥ 257
49 2lt5 11240 . . 3 2 < 5
503, 23, 49, 34dec5dvds2 15816 . 2 ¬ 5 ∥ 257
51 6nn0 11351 . . . 4 6 ∈ ℕ0
5218, 51deccl 11550 . . 3 36 ∈ ℕ0
53 eqid 2651 . . . . 5 36 = 36
54 7t3e21 11687 . . . . . 6 (7 · 3) = 21
551, 9, 7, 54, 44decaddi 11617 . . . . 5 ((7 · 3) + 4) = 25
56 7t6e42 11690 . . . . 5 (7 · 6) = 42
578, 18, 51, 53, 1, 7, 55, 56decmul2c 11627 . . . 4 (7 · 36) = 252
583, 1, 2, 57, 35decaddi 11617 . . 3 ((7 · 36) + 5) = 257
59 5lt7 11248 . . 3 5 < 7
604, 52, 14, 58, 59ndvdsi 15183 . 2 ¬ 7 ∥ 257
61 1nn 11069 . . . 4 1 ∈ ℕ
629, 61decnncl 11556 . . 3 11 ∈ ℕ
631, 18deccl 11550 . . 3 23 ∈ ℕ0
64 4nn 11225 . . 3 4 ∈ ℕ
659, 9deccl 11550 . . . . 5 11 ∈ ℕ0
66 eqid 2651 . . . . 5 23 = 23
6765nn0cni 11342 . . . . . . . 8 11 ∈ ℂ
6867, 33mulcomi 10084 . . . . . . 7 (11 · 2) = (2 · 11)
6968oveq1i 6700 . . . . . 6 ((11 · 2) + 3) = ((2 · 11) + 3)
70111multnc 11630 . . . . . . 7 (2 · 11) = 22
7124, 33, 27addcomli 10266 . . . . . . 7 (2 + 3) = 5
721, 1, 18, 70, 71decaddi 11617 . . . . . 6 ((2 · 11) + 3) = 25
7369, 72eqtri 2673 . . . . 5 ((11 · 2) + 3) = 25
741811multnc 11630 . . . . . 6 (3 · 11) = 33
7524, 67, 74mulcomli 10085 . . . . 5 (11 · 3) = 33
7665, 1, 18, 66, 18, 18, 73, 75decmul2c 11627 . . . 4 (11 · 23) = 253
77 4p3e7 11201 . . . . 5 (4 + 3) = 7
7841, 24, 77addcomli 10266 . . . 4 (3 + 4) = 7
793, 18, 7, 76, 78decaddi 11617 . . 3 ((11 · 23) + 4) = 257
80 4lt10 11716 . . . 4 4 < 10
8161, 9, 7, 80declti 11584 . . 3 4 < 11
8262, 63, 64, 79, 81ndvdsi 15183 . 2 ¬ 11 ∥ 257
839, 22decnncl 11556 . . 3 13 ∈ ℕ
84 9nn0 11354 . . . 4 9 ∈ ℕ0
859, 84deccl 11550 . . 3 19 ∈ ℕ0
86 10nn 11552 . . 3 10 ∈ ℕ
879, 18deccl 11550 . . . . . . 7 13 ∈ ℕ0
8887nn0cni 11342 . . . . . 6 13 ∈ ℂ
8985nn0cni 11342 . . . . . 6 19 ∈ ℂ
9088, 89mulcomi 10084 . . . . 5 (13 · 19) = (19 · 13)
9190oveq1i 6700 . . . 4 ((13 · 19) + 10) = ((19 · 13) + 10)
92 0nn0 11345 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
93 eqid 2651 . . . . 5 19 = 19
94 eqid 2651 . . . . 5 10 = 10
9588mulid2i 10081 . . . . . 6 (1 · 13) = 13
96 1p1e2 11172 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
97 eqid 2651 . . . . . . . 8 11 = 11
989, 9, 96, 97decsuc 11573 . . . . . . 7 (11 + 1) = 12
9967, 42, 98addcomli 10266 . . . . . 6 (1 + 11) = 12
1009, 18, 9, 1, 95, 99, 96, 27decadd 11608 . . . . 5 ((1 · 13) + (1 + 11)) = 25
101 eqid 2651 . . . . . . . 8 13 = 13
102 9cn 11146 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℂ
103102mulid1i 10080 . . . . . . . . . 10 (9 · 1) = 9
104103oveq1i 6700 . . . . . . . . 9 ((9 · 1) + 2) = (9 + 2)
105 9p2e11 11657 . . . . . . . . 9 (9 + 2) = 11
106104, 105eqtri 2673 . . . . . . . 8 ((9 · 1) + 2) = 11
107 9t3e27 11702 . . . . . . . 8 (9 · 3) = 27
10884, 9, 18, 101, 8, 1, 106, 107decmul2c 11627 . . . . . . 7 (9 · 13) = 117
109108oveq1i 6700 . . . . . 6 ((9 · 13) + 0) = (117 + 0)
11065, 8deccl 11550 . . . . . . . 8 117 ∈ ℕ0
111110nn0cni 11342 . . . . . . 7 117 ∈ ℂ
112111addid1i 10261 . . . . . 6 (117 + 0) = 117
113109, 112eqtri 2673 . . . . 5 ((9 · 13) + 0) = 117
1149, 84, 9, 92, 93, 94, 87, 8, 65, 100, 113decmac 11604 . . . 4 ((19 · 13) + 10) = 257
11591, 114eqtri 2673 . . 3 ((13 · 19) + 10) = 257
116 3pos 11152 . . . 4 0 < 3
1179, 92, 22, 116declt 11568 . . 3 10 < 13
11883, 85, 86, 115, 117ndvdsi 15183 . 2 ¬ 13 ∥ 257
1199, 4decnncl 11556 . . 3 17 ∈ ℕ
1209, 2deccl 11550 . . 3 15 ∈ ℕ0
1219, 8deccl 11550 . . . . 5 17 ∈ ℕ0
122 eqid 2651 . . . . 5 15 = 15
123121nn0cni 11342 . . . . . . 7 17 ∈ ℂ
124123mulid1i 10080 . . . . . 6 (17 · 1) = 17
125 8cn 11144 . . . . . . 7 8 ∈ ℂ
126 7cn 11142 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
127 8p7e15 11655 . . . . . . 7 (8 + 7) = 15
128125, 126, 127addcomli 10266 . . . . . 6 (7 + 8) = 15
1299, 8, 6, 124, 96, 2, 128decaddci 11618 . . . . 5 ((17 · 1) + 8) = 25
130 eqid 2651 . . . . . 6 17 = 17
13132mulid2i 10081 . . . . . . . 8 (1 · 5) = 5
132131oveq1i 6700 . . . . . . 7 ((1 · 5) + 3) = (5 + 3)
133 5p3e8 11204 . . . . . . 7 (5 + 3) = 8
134132, 133eqtri 2673 . . . . . 6 ((1 · 5) + 3) = 8
135 7t5e35 11689 . . . . . 6 (7 · 5) = 35
1362, 9, 8, 130, 2, 18, 134, 135decmul1c 11625 . . . . 5 (17 · 5) = 85
137121, 9, 2, 122, 2, 6, 129, 136decmul2c 11627 . . . 4 (17 · 15) = 255
1383, 2, 1, 137, 34decaddi 11617 . . 3 ((17 · 15) + 2) = 257
139 2lt10 11718 . . . 4 2 < 10
14061, 8, 1, 139declti 11584 . . 3 2 < 17
141119, 120, 23, 138, 140ndvdsi 15183 . 2 ¬ 17 ∥ 257
142 9nn 11230 . . . 4 9 ∈ ℕ
1439, 142decnncl 11556 . . 3 19 ∈ ℕ
144 9pos 11160 . . . 4 0 < 9
1459, 92, 142, 144declt 11568 . . 3 10 < 19
146143, 87, 86, 114, 145ndvdsi 15183 . 2 ¬ 19 ∥ 257
1471, 22decnncl 11556 . . 3 23 ∈ ℕ
14865, 1, 18, 66, 18, 18, 72, 74decmul1c 11625 . . . 4 (23 · 11) = 253
1493, 18, 7, 148, 78decaddi 11617 . . 3 ((23 · 11) + 4) = 257
15023, 18, 7, 80declti 11584 . . 3 4 < 23
151147, 65, 64, 149, 150ndvdsi 15183 . 2 ¬ 23 ∥ 257
1525, 13, 17, 21, 48, 50, 60, 82, 118, 141, 146, 151prmlem2 15874 1 257 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2030   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  2c2 11108  3c3 11109  4c4 11110  5c5 11111  6c6 11112  7c7 11113  8c8 11114  9c9 11115  cdc 11531  cdvds 15027  cprime 15432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028  df-prm 15433
This theorem is referenced by:  fmtno3prm  41799
  Copyright terms: Public domain W3C validator