MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2503prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2503prm 16054
Description: 2503 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
2503prm.1 𝑁 = 2503
Assertion
Ref Expression
2503prm 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 2503prm
StepHypRef Expression
1 139prm 16038 . 2 139 ∈ ℙ
2 1nn0 11510 . . 3 1 ∈ ℕ0
3 8nn 11393 . . 3 8 ∈ ℕ
42, 3decnncl 11720 . 2 18 ∈ ℕ
5 2503prm.1 . . . . 5 𝑁 = 2503
6 2nn0 11511 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ0
7 5nn0 11514 . . . . . . . 8 5 ∈ ℕ0
86, 7deccl 11714 . . . . . . 7 25 ∈ ℕ0
9 0nn0 11509 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
108, 9deccl 11714 . . . . . 6 250 ∈ ℕ0
11 2p1e3 11353 . . . . . 6 (2 + 1) = 3
12 eqid 2771 . . . . . 6 2502 = 2502
1310, 6, 11, 12decsuc 11737 . . . . 5 (2502 + 1) = 2503
145, 13eqtr4i 2796 . . . 4 𝑁 = (2502 + 1)
1514oveq1i 6803 . . 3 (𝑁 − 1) = ((2502 + 1) − 1)
16 8nn0 11517 . . . . . 6 8 ∈ ℕ0
172, 16deccl 11714 . . . . 5 18 ∈ ℕ0
18 3nn0 11512 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
192, 18deccl 11714 . . . . 5 13 ∈ ℕ0
20 9nn0 11518 . . . . 5 9 ∈ ℕ0
21 eqid 2771 . . . . 5 139 = 139
22 6nn0 11515 . . . . . 6 6 ∈ ℕ0
232, 22deccl 11714 . . . . 5 16 ∈ ℕ0
24 eqid 2771 . . . . . 6 13 = 13
25 eqid 2771 . . . . . 6 16 = 16
26 7nn0 11516 . . . . . . 7 7 ∈ ℕ0
27 eqid 2771 . . . . . . 7 18 = 18
28 6cn 11304 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℂ
29 ax-1cn 10196 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
30 6p1e7 11358 . . . . . . . . 9 (6 + 1) = 7
3128, 29, 30addcomli 10430 . . . . . . . 8 (1 + 6) = 7
3226dec0h 11724 . . . . . . . 8 7 = 07
3331, 32eqtri 2793 . . . . . . 7 (1 + 6) = 07
3429mulid1i 10244 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
3529addid2i 10426 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
3634, 35oveq12i 6805 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + (0 + 1)) = (1 + 1)
37 1p1e2 11336 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
3836, 37eqtri 2793 . . . . . . 7 ((1 · 1) + (0 + 1)) = 2
39 8cn 11308 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℂ
4039mulid1i 10244 . . . . . . . . 9 (8 · 1) = 8
4140oveq1i 6803 . . . . . . . 8 ((8 · 1) + 7) = (8 + 7)
42 8p7e15 11818 . . . . . . . 8 (8 + 7) = 15
4341, 42eqtri 2793 . . . . . . 7 ((8 · 1) + 7) = 15
442, 16, 9, 26, 27, 33, 2, 7, 2, 38, 43decmac 11767 . . . . . 6 ((18 · 1) + (1 + 6)) = 25
4522dec0h 11724 . . . . . . 7 6 = 06
46 3cn 11297 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
4746mulid2i 10245 . . . . . . . . 9 (1 · 3) = 3
4846addid2i 10426 . . . . . . . . 9 (0 + 3) = 3
4947, 48oveq12i 6805 . . . . . . . 8 ((1 · 3) + (0 + 3)) = (3 + 3)
50 3p3e6 11363 . . . . . . . 8 (3 + 3) = 6
5149, 50eqtri 2793 . . . . . . 7 ((1 · 3) + (0 + 3)) = 6
52 4nn0 11513 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ0
53 8t3e24 11856 . . . . . . . 8 (8 · 3) = 24
54 4cn 11300 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
55 6p4e10 11799 . . . . . . . . 9 (6 + 4) = 10
5628, 54, 55addcomli 10430 . . . . . . . 8 (4 + 6) = 10
576, 52, 22, 53, 11, 56decaddci2 11782 . . . . . . 7 ((8 · 3) + 6) = 30
582, 16, 9, 22, 27, 45, 18, 9, 18, 51, 57decmac 11767 . . . . . 6 ((18 · 3) + 6) = 60
592, 18, 2, 22, 24, 25, 17, 9, 22, 44, 58decma2c 11769 . . . . 5 ((18 · 13) + 16) = 250
60 9cn 11310 . . . . . . . . 9 9 ∈ ℂ
6160mulid2i 10245 . . . . . . . 8 (1 · 9) = 9
6261oveq1i 6803 . . . . . . 7 ((1 · 9) + 7) = (9 + 7)
63 9p7e16 11826 . . . . . . 7 (9 + 7) = 16
6462, 63eqtri 2793 . . . . . 6 ((1 · 9) + 7) = 16
65 9t8e72 11870 . . . . . . 7 (9 · 8) = 72
6660, 39, 65mulcomli 10249 . . . . . 6 (8 · 9) = 72
6720, 2, 16, 27, 6, 26, 64, 66decmul1c 11788 . . . . 5 (18 · 9) = 162
6817, 19, 20, 21, 6, 23, 59, 67decmul2c 11790 . . . 4 (18 · 139) = 2502
6910, 6deccl 11714 . . . . . 6 2502 ∈ ℕ0
7069nn0cni 11506 . . . . 5 2502 ∈ ℂ
7170, 29pncan3oi 10499 . . . 4 ((2502 + 1) − 1) = 2502
7268, 71eqtr4i 2796 . . 3 (18 · 139) = ((2502 + 1) − 1)
7315, 72eqtr4i 2796 . 2 (𝑁 − 1) = (18 · 139)
7410, 18deccl 11714 . . . . . 6 2503 ∈ ℕ0
755, 74eqeltri 2846 . . . . 5 𝑁 ∈ ℕ0
7675nn0cni 11506 . . . 4 𝑁 ∈ ℂ
77 npcan 10492 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
7876, 29, 77mp2an 672 . . 3 ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
7978eqcomi 2780 . 2 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
80 1nn 11233 . 2 1 ∈ ℕ
81 2nn 11387 . 2 2 ∈ ℕ
8219, 20deccl 11714 . . . . 5 139 ∈ ℕ0
8382numexp1 15988 . . . 4 (139↑1) = 139
8483oveq2i 6804 . . 3 (18 · (139↑1)) = (18 · 139)
8573, 84eqtr4i 2796 . 2 (𝑁 − 1) = (18 · (139↑1))
86 8lt10 11875 . . . 4 8 < 10
87 1lt10 11882 . . . . 5 1 < 10
8880, 18, 2, 87declti 11748 . . . 4 1 < 13
892, 19, 16, 20, 86, 88decltc 11734 . . 3 18 < 139
9089, 83breqtrri 4813 . 2 18 < (139↑1)
9152503lem2 16052 . 2 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
9252503lem3 16053 . 2 (((2↑18) − 1) gcd 𝑁) = 1
931, 4, 73, 79, 4, 80, 81, 85, 90, 91, 92pockthi 15818 1 𝑁 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1631  wcel 2145  (class class class)co 6793  cc 10136  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143   < clt 10276  cmin 10468  2c2 11272  3c3 11273  4c4 11274  5c5 11275  6c6 11276  7c7 11277  8c8 11278  9c9 11279  0cn0 11494  cdc 11695  cexp 13067  cprime 15592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-xnn0 11566  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-dvds 15190  df-gcd 15425  df-prm 15593  df-odz 15677  df-phi 15678  df-pc 15749
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator