MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2503lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2503lem3 16048
Description: Lemma for 2503prm 16049. Calculate the GCD of 2↑18 − 1≡1831 with 𝑁 = 2503. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2503prm.1 𝑁 = 2503
Assertion
Ref Expression
2503lem3 (((2↑18) − 1) gcd 𝑁) = 1

Proof of Theorem 2503lem3
StepHypRef Expression
1 2nn 11377 . . . 4 2 ∈ ℕ
2 1nn0 11500 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
3 8nn0 11507 . . . . 5 8 ∈ ℕ0
42, 3deccl 11704 . . . 4 18 ∈ ℕ0
5 nnexpcl 13067 . . . 4 ((2 ∈ ℕ ∧ 18 ∈ ℕ0) → (2↑18) ∈ ℕ)
61, 4, 5mp2an 710 . . 3 (2↑18) ∈ ℕ
7 nnm1nn0 11526 . . 3 ((2↑18) ∈ ℕ → ((2↑18) − 1) ∈ ℕ0)
86, 7ax-mp 5 . 2 ((2↑18) − 1) ∈ ℕ0
9 3nn0 11502 . . . 4 3 ∈ ℕ0
104, 9deccl 11704 . . 3 183 ∈ ℕ0
1110, 2deccl 11704 . 2 1831 ∈ ℕ0
12 2503prm.1 . . 3 𝑁 = 2503
13 2nn0 11501 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
14 5nn0 11504 . . . . . 6 5 ∈ ℕ0
1513, 14deccl 11704 . . . . 5 25 ∈ ℕ0
16 0nn0 11499 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
1715, 16deccl 11704 . . . 4 250 ∈ ℕ0
18 3nn 11378 . . . 4 3 ∈ ℕ
1917, 18decnncl 11710 . . 3 2503 ∈ ℕ
2012, 19eqeltri 2835 . 2 𝑁 ∈ ℕ
21122503lem1 16046 . . 3 ((2↑18) mod 𝑁) = (1832 mod 𝑁)
22 1p1e2 11326 . . . 4 (1 + 1) = 2
23 eqid 2760 . . . 4 1831 = 1831
2410, 2, 22, 23decsuc 11727 . . 3 (1831 + 1) = 1832
2520, 6, 2, 11, 21, 24modsubi 15978 . 2 (((2↑18) − 1) mod 𝑁) = (1831 mod 𝑁)
26 6nn0 11505 . . . . 5 6 ∈ ℕ0
27 7nn0 11506 . . . . 5 7 ∈ ℕ0
2826, 27deccl 11704 . . . 4 67 ∈ ℕ0
2928, 13deccl 11704 . . 3 672 ∈ ℕ0
30 4nn0 11503 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
3130, 3deccl 11704 . . . . 5 48 ∈ ℕ0
3231, 27deccl 11704 . . . 4 487 ∈ ℕ0
334, 14deccl 11704 . . . . 5 185 ∈ ℕ0
342, 2deccl 11704 . . . . . . 7 11 ∈ ℕ0
3534, 27deccl 11704 . . . . . 6 117 ∈ ℕ0
3626, 3deccl 11704 . . . . . . 7 68 ∈ ℕ0
37 9nn0 11508 . . . . . . . . 9 9 ∈ ℕ0
3830, 37deccl 11704 . . . . . . . 8 49 ∈ ℕ0
392, 37deccl 11704 . . . . . . . . 9 19 ∈ ℕ0
4038nn0zi 11594 . . . . . . . . . . 11 49 ∈ ℤ
4139nn0zi 11594 . . . . . . . . . . 11 19 ∈ ℤ
42 gcdcom 15437 . . . . . . . . . . 11 ((49 ∈ ℤ ∧ 19 ∈ ℤ) → (49 gcd 19) = (19 gcd 49))
4340, 41, 42mp2an 710 . . . . . . . . . 10 (49 gcd 19) = (19 gcd 49)
44 9nn 11384 . . . . . . . . . . . . 13 9 ∈ ℕ
452, 44decnncl 11710 . . . . . . . . . . . 12 19 ∈ ℕ
46 1nn 11223 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℕ
472, 46decnncl 11710 . . . . . . . . . . . 12 11 ∈ ℕ
48 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . 13 19 = 19
49 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . 13 11 = 11
50 2cn 11283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℂ
5150mulid2i 10235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 · 2) = 2
5251, 22oveq12i 6825 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 · 2) + (1 + 1)) = (2 + 2)
53 2p2e4 11336 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 + 2) = 4
5452, 53eqtri 2782 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 · 2) + (1 + 1)) = 4
55 8p1e9 11350 . . . . . . . . . . . . . 14 (8 + 1) = 9
56 9t2e18 11855 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 · 2) = 18
572, 3, 55, 56decsuc 11727 . . . . . . . . . . . . 13 ((9 · 2) + 1) = 19
582, 37, 2, 2, 48, 49, 13, 37, 2, 54, 57decmac 11758 . . . . . . . . . . . 12 ((19 · 2) + 11) = 49
59 1lt9 11421 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 9
602, 2, 44, 59declt 11722 . . . . . . . . . . . 12 11 < 19
6145, 13, 47, 58, 60ndvdsi 15338 . . . . . . . . . . 11 ¬ 19 ∥ 49
62 19prm 16027 . . . . . . . . . . . 12 19 ∈ ℙ
63 coprm 15625 . . . . . . . . . . . 12 ((19 ∈ ℙ ∧ 49 ∈ ℤ) → (¬ 19 ∥ 49 ↔ (19 gcd 49) = 1))
6462, 40, 63mp2an 710 . . . . . . . . . . 11 19 ∥ 49 ↔ (19 gcd 49) = 1)
6561, 64mpbi 220 . . . . . . . . . 10 (19 gcd 49) = 1
6643, 65eqtri 2782 . . . . . . . . 9 (49 gcd 19) = 1
67 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 49 = 49
68 4cn 11290 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
6968mulid2i 10235 . . . . . . . . . . . 12 (1 · 4) = 4
7069, 22oveq12i 6825 . . . . . . . . . . 11 ((1 · 4) + (1 + 1)) = (4 + 2)
71 4p2e6 11354 . . . . . . . . . . 11 (4 + 2) = 6
7270, 71eqtri 2782 . . . . . . . . . 10 ((1 · 4) + (1 + 1)) = 6
73 9cn 11300 . . . . . . . . . . . . 13 9 ∈ ℂ
7473mulid2i 10235 . . . . . . . . . . . 12 (1 · 9) = 9
7574oveq1i 6823 . . . . . . . . . . 11 ((1 · 9) + 9) = (9 + 9)
76 9p9e18 11819 . . . . . . . . . . 11 (9 + 9) = 18
7775, 76eqtri 2782 . . . . . . . . . 10 ((1 · 9) + 9) = 18
7830, 37, 2, 37, 67, 48, 2, 3, 2, 72, 77decma2c 11760 . . . . . . . . 9 ((1 · 49) + 19) = 68
792, 39, 38, 66, 78gcdi 15979 . . . . . . . 8 (68 gcd 49) = 1
80 eqid 2760 . . . . . . . . 9 68 = 68
81 6cn 11294 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℂ
8281mulid2i 10235 . . . . . . . . . . 11 (1 · 6) = 6
83 4p1e5 11346 . . . . . . . . . . 11 (4 + 1) = 5
8482, 83oveq12i 6825 . . . . . . . . . 10 ((1 · 6) + (4 + 1)) = (6 + 5)
85 6p5e11 11792 . . . . . . . . . 10 (6 + 5) = 11
8684, 85eqtri 2782 . . . . . . . . 9 ((1 · 6) + (4 + 1)) = 11
87 8cn 11298 . . . . . . . . . . . 12 8 ∈ ℂ
8887mulid2i 10235 . . . . . . . . . . 11 (1 · 8) = 8
8988oveq1i 6823 . . . . . . . . . 10 ((1 · 8) + 9) = (8 + 9)
90 9p8e17 11818 . . . . . . . . . . 11 (9 + 8) = 17
9173, 87, 90addcomli 10420 . . . . . . . . . 10 (8 + 9) = 17
9289, 91eqtri 2782 . . . . . . . . 9 ((1 · 8) + 9) = 17
9326, 3, 30, 37, 80, 67, 2, 27, 2, 86, 92decma2c 11760 . . . . . . . 8 ((1 · 68) + 49) = 117
942, 38, 36, 79, 93gcdi 15979 . . . . . . 7 (117 gcd 68) = 1
95 eqid 2760 . . . . . . . 8 117 = 117
96 6p1e7 11348 . . . . . . . . . 10 (6 + 1) = 7
9727dec0h 11714 . . . . . . . . . 10 7 = 07
9896, 97eqtri 2782 . . . . . . . . 9 (6 + 1) = 07
99 1t1e1 11367 . . . . . . . . . . 11 (1 · 1) = 1
100 00id 10403 . . . . . . . . . . 11 (0 + 0) = 0
10199, 100oveq12i 6825 . . . . . . . . . 10 ((1 · 1) + (0 + 0)) = (1 + 0)
102 ax-1cn 10186 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
103102addid1i 10415 . . . . . . . . . 10 (1 + 0) = 1
104101, 103eqtri 2782 . . . . . . . . 9 ((1 · 1) + (0 + 0)) = 1
10599oveq1i 6823 . . . . . . . . . 10 ((1 · 1) + 7) = (1 + 7)
106 7cn 11296 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℂ
107 7p1e8 11349 . . . . . . . . . . 11 (7 + 1) = 8
108106, 102, 107addcomli 10420 . . . . . . . . . 10 (1 + 7) = 8
1093dec0h 11714 . . . . . . . . . 10 8 = 08
110105, 108, 1093eqtri 2786 . . . . . . . . 9 ((1 · 1) + 7) = 08
1112, 2, 16, 27, 49, 98, 2, 3, 16, 104, 110decma2c 11760 . . . . . . . 8 ((1 · 11) + (6 + 1)) = 18
112106mulid2i 10235 . . . . . . . . . 10 (1 · 7) = 7
113112oveq1i 6823 . . . . . . . . 9 ((1 · 7) + 8) = (7 + 8)
114 8p7e15 11809 . . . . . . . . . 10 (8 + 7) = 15
11587, 106, 114addcomli 10420 . . . . . . . . 9 (7 + 8) = 15
116113, 115eqtri 2782 . . . . . . . 8 ((1 · 7) + 8) = 15
11734, 27, 26, 3, 95, 80, 2, 14, 2, 111, 116decma2c 11760 . . . . . . 7 ((1 · 117) + 68) = 185
1182, 36, 35, 94, 117gcdi 15979 . . . . . 6 (185 gcd 117) = 1
119 eqid 2760 . . . . . . 7 185 = 185
120 eqid 2760 . . . . . . . 8 18 = 18
1212, 2, 22, 49decsuc 11727 . . . . . . . 8 (11 + 1) = 12
122 2t1e2 11368 . . . . . . . . . 10 (2 · 1) = 2
123122, 22oveq12i 6825 . . . . . . . . 9 ((2 · 1) + (1 + 1)) = (2 + 2)
124123, 53eqtri 2782 . . . . . . . 8 ((2 · 1) + (1 + 1)) = 4
125 8t2e16 11846 . . . . . . . . . 10 (8 · 2) = 16
12687, 50, 125mulcomli 10239 . . . . . . . . 9 (2 · 8) = 16
127 6p2e8 11361 . . . . . . . . 9 (6 + 2) = 8
1282, 26, 13, 126, 127decaddi 11771 . . . . . . . 8 ((2 · 8) + 2) = 18
1292, 3, 2, 13, 120, 121, 13, 3, 2, 124, 128decma2c 11760 . . . . . . 7 ((2 · 18) + (11 + 1)) = 48
130 5cn 11292 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
131 5t2e10 11826 . . . . . . . . 9 (5 · 2) = 10
132130, 50, 131mulcomli 10239 . . . . . . . 8 (2 · 5) = 10
133106addid2i 10416 . . . . . . . 8 (0 + 7) = 7
1342, 16, 27, 132, 133decaddi 11771 . . . . . . 7 ((2 · 5) + 7) = 17
1354, 14, 34, 27, 119, 95, 13, 27, 2, 129, 134decma2c 11760 . . . . . 6 ((2 · 185) + 117) = 487
13613, 35, 33, 118, 135gcdi 15979 . . . . 5 (487 gcd 185) = 1
137 eqid 2760 . . . . . 6 487 = 487
138 eqid 2760 . . . . . . 7 48 = 48
1392, 3, 55, 120decsuc 11727 . . . . . . 7 (18 + 1) = 19
14030, 3, 2, 37, 138, 139, 2, 27, 2, 72, 92decma2c 11760 . . . . . 6 ((1 · 48) + (18 + 1)) = 67
141112oveq1i 6823 . . . . . . 7 ((1 · 7) + 5) = (7 + 5)
142 7p5e12 11799 . . . . . . 7 (7 + 5) = 12
143141, 142eqtri 2782 . . . . . 6 ((1 · 7) + 5) = 12
14431, 27, 4, 14, 137, 119, 2, 13, 2, 140, 143decma2c 11760 . . . . 5 ((1 · 487) + 185) = 672
1452, 33, 32, 136, 144gcdi 15979 . . . 4 (672 gcd 487) = 1
146 eqid 2760 . . . . 5 672 = 672
147 eqid 2760 . . . . . 6 67 = 67
14830, 3, 55, 138decsuc 11727 . . . . . 6 (48 + 1) = 49
14971oveq2i 6824 . . . . . . 7 ((2 · 6) + (4 + 2)) = ((2 · 6) + 6)
150 6t2e12 11833 . . . . . . . . 9 (6 · 2) = 12
15181, 50, 150mulcomli 10239 . . . . . . . 8 (2 · 6) = 12
15281, 50, 127addcomli 10420 . . . . . . . 8 (2 + 6) = 8
1532, 13, 26, 151, 152decaddi 11771 . . . . . . 7 ((2 · 6) + 6) = 18
154149, 153eqtri 2782 . . . . . 6 ((2 · 6) + (4 + 2)) = 18
155 7t2e14 11840 . . . . . . . 8 (7 · 2) = 14
156106, 50, 155mulcomli 10239 . . . . . . 7 (2 · 7) = 14
157 9p4e13 11814 . . . . . . . 8 (9 + 4) = 13
15873, 68, 157addcomli 10420 . . . . . . 7 (4 + 9) = 13
1592, 30, 37, 156, 22, 9, 158decaddci 11772 . . . . . 6 ((2 · 7) + 9) = 23
16026, 27, 30, 37, 147, 148, 13, 9, 13, 154, 159decma2c 11760 . . . . 5 ((2 · 67) + (48 + 1)) = 183
161 2t2e4 11369 . . . . . . 7 (2 · 2) = 4
162161oveq1i 6823 . . . . . 6 ((2 · 2) + 7) = (4 + 7)
163 7p4e11 11797 . . . . . . 7 (7 + 4) = 11
164106, 68, 163addcomli 10420 . . . . . 6 (4 + 7) = 11
165162, 164eqtri 2782 . . . . 5 ((2 · 2) + 7) = 11
16628, 13, 31, 27, 146, 137, 13, 2, 2, 160, 165decma2c 11760 . . . 4 ((2 · 672) + 487) = 1831
16713, 32, 29, 145, 166gcdi 15979 . . 3 (1831 gcd 672) = 1
168 eqid 2760 . . . . . 6 183 = 183
16928nn0cni 11496 . . . . . . 7 67 ∈ ℂ
170169addid1i 10415 . . . . . 6 (67 + 0) = 67
171102addid2i 10416 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
17299, 171oveq12i 6825 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + (0 + 1)) = (1 + 1)
173172, 22eqtri 2782 . . . . . . 7 ((1 · 1) + (0 + 1)) = 2
17488oveq1i 6823 . . . . . . . 8 ((1 · 8) + 7) = (8 + 7)
175174, 114eqtri 2782 . . . . . . 7 ((1 · 8) + 7) = 15
1762, 3, 16, 27, 120, 98, 2, 14, 2, 173, 175decma2c 11760 . . . . . 6 ((1 · 18) + (6 + 1)) = 25
177 3cn 11287 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
178177mulid2i 10235 . . . . . . . 8 (1 · 3) = 3
179178oveq1i 6823 . . . . . . 7 ((1 · 3) + 7) = (3 + 7)
180 7p3e10 11795 . . . . . . . 8 (7 + 3) = 10
181106, 177, 180addcomli 10420 . . . . . . 7 (3 + 7) = 10
182179, 181eqtri 2782 . . . . . 6 ((1 · 3) + 7) = 10
1834, 9, 26, 27, 168, 170, 2, 16, 2, 176, 182decma2c 11760 . . . . 5 ((1 · 183) + (67 + 0)) = 250
18499oveq1i 6823 . . . . . 6 ((1 · 1) + 2) = (1 + 2)
185 1p2e3 11344 . . . . . 6 (1 + 2) = 3
1869dec0h 11714 . . . . . 6 3 = 03
187184, 185, 1863eqtri 2786 . . . . 5 ((1 · 1) + 2) = 03
18810, 2, 28, 13, 23, 146, 2, 9, 16, 183, 187decma2c 11760 . . . 4 ((1 · 1831) + 672) = 2503
189188, 12eqtr4i 2785 . . 3 ((1 · 1831) + 672) = 𝑁
1902, 29, 11, 167, 189gcdi 15979 . 2 (𝑁 gcd 1831) = 1
1918, 11, 20, 25, 190gcdmodi 15980 1 (((2↑18) − 1) gcd 𝑁) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196   = wceq 1632  wcel 2139   class class class wbr 4804  (class class class)co 6813  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133  cmin 10458  cn 11212  2c2 11262  3c3 11263  4c4 11264  5c5 11265  6c6 11266  7c7 11267  8c8 11268  9c9 11269  0cn0 11484  cz 11569  cdc 11685  cexp 13054  cdvds 15182   gcd cgcd 15418  cprime 15587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-dvds 15183  df-gcd 15419  df-prm 15588
This theorem is referenced by:  2503prm  16049
  Copyright terms: Public domain W3C validator