MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2503lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2503lem1 16066
Description: Lemma for 2503prm 16069. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑18 = 512↑2 = 104𝑁 + 1832≡1832. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2503prm.1 𝑁 = 2503
Assertion
Ref Expression
2503lem1 ((2↑18) mod 𝑁) = (1832 mod 𝑁)

Proof of Theorem 2503lem1
StepHypRef Expression
1 2503prm.1 . . 3 𝑁 = 2503
2 2nn0 11521 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
3 5nn0 11524 . . . . . 6 5 ∈ ℕ0
42, 3deccl 11724 . . . . 5 25 ∈ ℕ0
5 0nn0 11519 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
64, 5deccl 11724 . . . 4 250 ∈ ℕ0
7 3nn 11398 . . . 4 3 ∈ ℕ
86, 7decnncl 11730 . . 3 2503 ∈ ℕ
91, 8eqeltri 2835 . 2 𝑁 ∈ ℕ
10 2nn 11397 . 2 2 ∈ ℕ
11 9nn0 11528 . 2 9 ∈ ℕ0
12 10nn0 11728 . . . 4 10 ∈ ℕ0
13 4nn0 11523 . . . 4 4 ∈ ℕ0
1412, 13deccl 11724 . . 3 104 ∈ ℕ0
1514nn0zi 11614 . 2 104 ∈ ℤ
16 1nn0 11520 . . . 4 1 ∈ ℕ0
173, 16deccl 11724 . . 3 51 ∈ ℕ0
1817, 2deccl 11724 . 2 512 ∈ ℕ0
19 8nn0 11527 . . . . 5 8 ∈ ℕ0
2016, 19deccl 11724 . . . 4 18 ∈ ℕ0
21 3nn0 11522 . . . 4 3 ∈ ℕ0
2220, 21deccl 11724 . . 3 183 ∈ ℕ0
2322, 2deccl 11724 . 2 1832 ∈ ℕ0
24 8p1e9 11370 . . . 4 (8 + 1) = 9
25 6nn0 11525 . . . . 5 6 ∈ ℕ0
26 2exp8 16018 . . . . 5 (2↑8) = 256
27 eqid 2760 . . . . . 6 25 = 25
2816dec0h 11734 . . . . . 6 1 = 01
29 2t2e4 11389 . . . . . . . 8 (2 · 2) = 4
30 ax-1cn 10206 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
3130addid2i 10436 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
3229, 31oveq12i 6826 . . . . . . 7 ((2 · 2) + (0 + 1)) = (4 + 1)
33 4p1e5 11366 . . . . . . 7 (4 + 1) = 5
3432, 33eqtri 2782 . . . . . 6 ((2 · 2) + (0 + 1)) = 5
35 5t2e10 11846 . . . . . . 7 (5 · 2) = 10
3616, 5, 31, 35decsuc 11747 . . . . . 6 ((5 · 2) + 1) = 11
372, 3, 5, 16, 27, 28, 2, 16, 16, 34, 36decmac 11778 . . . . 5 ((25 · 2) + 1) = 51
38 6t2e12 11853 . . . . 5 (6 · 2) = 12
392, 4, 25, 26, 2, 16, 37, 38decmul1c 11799 . . . 4 ((2↑8) · 2) = 512
402, 19, 24, 39numexpp1 16004 . . 3 (2↑9) = 512
4140oveq1i 6824 . 2 ((2↑9) mod 𝑁) = (512 mod 𝑁)
42 9cn 11320 . . 3 9 ∈ ℂ
43 2cn 11303 . . 3 2 ∈ ℂ
44 9t2e18 11875 . . 3 (9 · 2) = 18
4542, 43, 44mulcomli 10259 . 2 (2 · 9) = 18
46 eqid 2760 . . . 4 1832 = 1832
4721, 16deccl 11724 . . . 4 31 ∈ ℕ0
482, 16deccl 11724 . . . . 5 21 ∈ ℕ0
49 eqid 2760 . . . . 5 250 = 250
50 eqid 2760 . . . . . 6 183 = 183
51 eqid 2760 . . . . . 6 31 = 31
52 eqid 2760 . . . . . . 7 18 = 18
53 1p1e2 11346 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
54 8p3e11 11824 . . . . . . 7 (8 + 3) = 11
5516, 19, 21, 52, 53, 16, 54decaddci 11792 . . . . . 6 (18 + 3) = 21
56 3p1e4 11365 . . . . . 6 (3 + 1) = 4
5720, 21, 21, 16, 50, 51, 55, 56decadd 11782 . . . . 5 (183 + 31) = 214
5848nn0cni 11516 . . . . . . 7 21 ∈ ℂ
5958addid1i 10435 . . . . . 6 (21 + 0) = 21
603, 2deccl 11724 . . . . . 6 52 ∈ ℕ0
61 eqid 2760 . . . . . . 7 104 = 104
6260nn0cni 11516 . . . . . . . 8 52 ∈ ℂ
63 eqid 2760 . . . . . . . . 9 52 = 52
64 2p2e4 11356 . . . . . . . . 9 (2 + 2) = 4
653, 2, 2, 63, 64decaddi 11791 . . . . . . . 8 (52 + 2) = 54
6662, 43, 65addcomli 10440 . . . . . . 7 (2 + 52) = 54
672dec0u 11732 . . . . . . . . 9 (10 · 2) = 20
68 5p1e6 11367 . . . . . . . . 9 (5 + 1) = 6
6967, 68oveq12i 6826 . . . . . . . 8 ((10 · 2) + (5 + 1)) = (20 + 6)
70 eqid 2760 . . . . . . . . 9 20 = 20
71 6cn 11314 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℂ
7271addid2i 10436 . . . . . . . . 9 (0 + 6) = 6
732, 5, 25, 70, 72decaddi 11791 . . . . . . . 8 (20 + 6) = 26
7469, 73eqtri 2782 . . . . . . 7 ((10 · 2) + (5 + 1)) = 26
75 4t2e8 11393 . . . . . . . . 9 (4 · 2) = 8
7675oveq1i 6824 . . . . . . . 8 ((4 · 2) + 4) = (8 + 4)
77 8p4e12 11826 . . . . . . . 8 (8 + 4) = 12
7876, 77eqtri 2782 . . . . . . 7 ((4 · 2) + 4) = 12
7912, 13, 3, 13, 61, 66, 2, 2, 16, 74, 78decmac 11778 . . . . . 6 ((104 · 2) + (2 + 52)) = 262
803dec0u 11732 . . . . . . . . 9 (10 · 5) = 50
8143addid2i 10436 . . . . . . . . 9 (0 + 2) = 2
8280, 81oveq12i 6826 . . . . . . . 8 ((10 · 5) + (0 + 2)) = (50 + 2)
83 eqid 2760 . . . . . . . . 9 50 = 50
843, 5, 2, 83, 81decaddi 11791 . . . . . . . 8 (50 + 2) = 52
8582, 84eqtri 2782 . . . . . . 7 ((10 · 5) + (0 + 2)) = 52
86 5cn 11312 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
87 4cn 11310 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
88 5t4e20 11849 . . . . . . . . 9 (5 · 4) = 20
8986, 87, 88mulcomli 10259 . . . . . . . 8 (4 · 5) = 20
902, 5, 31, 89decsuc 11747 . . . . . . 7 ((4 · 5) + 1) = 21
9112, 13, 5, 16, 61, 28, 3, 16, 2, 85, 90decmac 11778 . . . . . 6 ((104 · 5) + 1) = 521
922, 3, 2, 16, 27, 59, 14, 16, 60, 79, 91decma2c 11780 . . . . 5 ((104 · 25) + (21 + 0)) = 2621
9314nn0cni 11516 . . . . . . . 8 104 ∈ ℂ
9493mul01i 10438 . . . . . . 7 (104 · 0) = 0
9594oveq1i 6824 . . . . . 6 ((104 · 0) + 4) = (0 + 4)
9687addid2i 10436 . . . . . 6 (0 + 4) = 4
9713dec0h 11734 . . . . . 6 4 = 04
9895, 96, 973eqtri 2786 . . . . 5 ((104 · 0) + 4) = 04
994, 5, 48, 13, 49, 57, 14, 13, 5, 92, 98decma2c 11780 . . . 4 ((104 · 250) + (183 + 31)) = 26214
100 eqid 2760 . . . . . 6 10 = 10
101 3cn 11307 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
102101mulid2i 10255 . . . . . . . 8 (1 · 3) = 3
103 00id 10423 . . . . . . . 8 (0 + 0) = 0
104102, 103oveq12i 6826 . . . . . . 7 ((1 · 3) + (0 + 0)) = (3 + 0)
105101addid1i 10435 . . . . . . 7 (3 + 0) = 3
106104, 105eqtri 2782 . . . . . 6 ((1 · 3) + (0 + 0)) = 3
107101mul02i 10437 . . . . . . . 8 (0 · 3) = 0
108107oveq1i 6824 . . . . . . 7 ((0 · 3) + 1) = (0 + 1)
109108, 31, 283eqtri 2786 . . . . . 6 ((0 · 3) + 1) = 01
11016, 5, 5, 16, 100, 28, 21, 16, 5, 106, 109decmac 11778 . . . . 5 ((10 · 3) + 1) = 31
111 4t3e12 11844 . . . . . 6 (4 · 3) = 12
11216, 2, 2, 111, 64decaddi 11791 . . . . 5 ((4 · 3) + 2) = 14
11312, 13, 2, 61, 21, 13, 16, 110, 112decrmac 11789 . . . 4 ((104 · 3) + 2) = 314
1146, 21, 22, 2, 1, 46, 14, 13, 47, 99, 113decma2c 11780 . . 3 ((104 · 𝑁) + 1832) = 262144
115 eqid 2760 . . . 4 512 = 512
11612, 2deccl 11724 . . . 4 102 ∈ ℕ0
117 eqid 2760 . . . . 5 51 = 51
118 eqid 2760 . . . . 5 102 = 102
11986, 30, 68addcomli 10440 . . . . . . 7 (1 + 5) = 6
12016, 5, 3, 16, 100, 117, 119, 31decadd 11782 . . . . . 6 (10 + 51) = 61
121 7nn0 11526 . . . . . . 7 7 ∈ ℕ0
122 6p1e7 11368 . . . . . . . 8 (6 + 1) = 7
123121dec0h 11734 . . . . . . . 8 7 = 07
124122, 123eqtri 2782 . . . . . . 7 (6 + 1) = 07
12531oveq2i 6825 . . . . . . . 8 ((5 · 5) + (0 + 1)) = ((5 · 5) + 1)
126 5t5e25 11851 . . . . . . . . 9 (5 · 5) = 25
1272, 3, 68, 126decsuc 11747 . . . . . . . 8 ((5 · 5) + 1) = 26
128125, 127eqtri 2782 . . . . . . 7 ((5 · 5) + (0 + 1)) = 26
12986mulid2i 10255 . . . . . . . . 9 (1 · 5) = 5
130129oveq1i 6824 . . . . . . . 8 ((1 · 5) + 7) = (5 + 7)
131 7cn 11316 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℂ
132 7p5e12 11819 . . . . . . . . 9 (7 + 5) = 12
133131, 86, 132addcomli 10440 . . . . . . . 8 (5 + 7) = 12
134130, 133eqtri 2782 . . . . . . 7 ((1 · 5) + 7) = 12
1353, 16, 5, 121, 117, 124, 3, 2, 16, 128, 134decmac 11778 . . . . . 6 ((51 · 5) + (6 + 1)) = 262
13686, 43, 35mulcomli 10259 . . . . . . 7 (2 · 5) = 10
13716, 5, 31, 136decsuc 11747 . . . . . 6 ((2 · 5) + 1) = 11
13817, 2, 25, 16, 115, 120, 3, 16, 16, 135, 137decmac 11778 . . . . 5 ((512 · 5) + (10 + 51)) = 2621
13917nn0cni 11516 . . . . . . 7 51 ∈ ℂ
140139mulid1i 10254 . . . . . 6 (51 · 1) = 51
14143mulid1i 10254 . . . . . . . 8 (2 · 1) = 2
142141oveq1i 6824 . . . . . . 7 ((2 · 1) + 2) = (2 + 2)
143142, 64eqtri 2782 . . . . . 6 ((2 · 1) + 2) = 4
14417, 2, 2, 115, 16, 140, 143decrmanc 11788 . . . . 5 ((512 · 1) + 2) = 514
1453, 16, 12, 2, 117, 118, 18, 13, 17, 138, 144decma2c 11780 . . . 4 ((512 · 51) + 102) = 26214
14643mulid2i 10255 . . . . . 6 (1 · 2) = 2
1472, 3, 16, 117, 2, 35, 146decmul1 11797 . . . . 5 (51 · 2) = 102
1482, 17, 2, 115, 13, 147, 29decmul1 11797 . . . 4 (512 · 2) = 1024
14918, 17, 2, 115, 13, 116, 145, 148decmul2c 11801 . . 3 (512 · 512) = 262144
150114, 149eqtr4i 2785 . 2 ((104 · 𝑁) + 1832) = (512 · 512)
1519, 10, 11, 15, 18, 23, 41, 45, 150mod2xi 15995 1 ((2↑18) mod 𝑁) = (1832 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1632  (class class class)co 6814  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153  cn 11232  2c2 11282  3c3 11283  4c4 11284  5c5 11285  6c6 11286  7c7 11287  8c8 11288  9c9 11289  cdc 11705   mod cmo 12882  cexp 13074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-rp 12046  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075
This theorem is referenced by:  2503lem2  16067  2503lem3  16068
  Copyright terms: Public domain W3C validator