MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1wlkdlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1wlkdlem1 27310
Description: Lemma 1 for 1wlkd 27314. (Contributed by AV, 22-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
1wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
1wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
1wlkd.x (𝜑𝑋𝑉)
1wlkd.y (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
1wlkdlem1 (𝜑𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)

Proof of Theorem 1wlkdlem1
StepHypRef Expression
1 1wlkd.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
2 1wlkd.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
31, 2s2cld 13836 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉)
4 wrdf 13516 . . . 4 (⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉 → ⟨“𝑋𝑌”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩))⟶𝑉)
5 1z 11619 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
6 fzval3 12751 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℤ → (0...1) = (0..^(1 + 1)))
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7 (0...1) = (0..^(1 + 1))
8 1wlkd.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
98fveq2i 6356 . . . . . . . . 9 (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽”⟩)
10 s1len 13596 . . . . . . . . 9 (♯‘⟨“𝐽”⟩) = 1
119, 10eqtri 2782 . . . . . . . 8 (♯‘𝐹) = 1
1211oveq2i 6825 . . . . . . 7 (0...(♯‘𝐹)) = (0...1)
13 s2len 13854 . . . . . . . . 9 (♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩) = 2
14 df-2 11291 . . . . . . . . 9 2 = (1 + 1)
1513, 14eqtri 2782 . . . . . . . 8 (♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩) = (1 + 1)
1615oveq2i 6825 . . . . . . 7 (0..^(♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩)) = (0..^(1 + 1))
177, 12, 163eqtr4i 2792 . . . . . 6 (0...(♯‘𝐹)) = (0..^(♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩))
1817a1i 11 . . . . 5 (⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉 → (0...(♯‘𝐹)) = (0..^(♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩)))
1918feq2d 6192 . . . 4 (⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉 → (⟨“𝑋𝑌”⟩:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ↔ ⟨“𝑋𝑌”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩))⟶𝑉))
204, 19mpbird 247 . . 3 (⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉 → ⟨“𝑋𝑌”⟩:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
213, 20syl 17 . 2 (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌”⟩:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
22 1wlkd.p . . 3 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
2322feq1i 6197 . 2 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ↔ ⟨“𝑋𝑌”⟩:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
2421, 23sylibr 224 1 (𝜑𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151  2c2 11282  cz 11589  ...cfz 12539  ..^cfzo 12679  chash 13331  Word cword 13497  ⟨“cs1 13500  ⟨“cs2 13806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-hash 13332  df-word 13505  df-concat 13507  df-s1 13508  df-s2 13813
This theorem is referenced by:  1wlkd  27314
  Copyright terms: Public domain W3C validator