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Theorem 1stccnp 21205
Description: A mapping is continuous at 𝑃 in a first-countable space 𝑋 iff it is sequentially continuous at 𝑃, meaning that the image under 𝐹 of every sequence converging at 𝑃 converges to 𝐹(𝑃). This proof uses ax-cc 9217, but only via 1stcelcls 21204, so it could be refactored into a proof that continuity and sequential continuity are the same in sequential spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
1stccnp.1 (𝜑𝐽 ∈ 1st𝜔)
1stccnp.2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
1stccnp.3 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
1stccnp.4 (𝜑𝑃𝑋)
Assertion
Ref Expression
1stccnp (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐽   𝜑,𝑓   𝑓,𝐾   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌   𝑃,𝑓

Proof of Theorem 1stccnp
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1stccnp.2 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 1stccnp.3 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
31, 2jca 554 . . . 4 (𝜑 → (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)))
4 cnpf2 20994 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝐹:𝑋𝑌)
543expa 1262 . . . 4 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝐹:𝑋𝑌)
63, 5sylan 488 . . 3 ((𝜑𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝐹:𝑋𝑌)
7 simprr 795 . . . . . 6 (((𝜑𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃)) → 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃)
8 simplr 791 . . . . . 6 (((𝜑𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃)) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃))
97, 8lmcnp 21048 . . . . 5 (((𝜑𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃)) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃))
109ex 450 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → ((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))
1110alrimiv 1852 . . 3 ((𝜑𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))
126, 11jca 554 . 2 ((𝜑𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃))))
13 simprl 793 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) → 𝐹:𝑋𝑌)
14 fal 1487 . . . . . . . . 9 ¬ ⊥
15 19.29 1798 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)) ∧ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃)) → ∃𝑓(((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)) ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃)))
16 simprl 793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃)) → 𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)))
17 difss 3721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ⊆ 𝑋
18 fss 6023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ (𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ⊆ 𝑋) → 𝑓:ℕ⟶𝑋)
1916, 17, 18sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃)) → 𝑓:ℕ⟶𝑋)
20 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃)) → 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃)
2119, 20jca 554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃)) → (𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃))
22 nnuz 11683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ℕ = (ℤ‘1)
23 simplrr 800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) ∧ (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃))) → (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)
24 1zzd 11368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) ∧ (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃))) → 1 ∈ ℤ)
25 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) ∧ (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃))) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃))
26 simplrl 799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) ∧ (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃))) → 𝑢𝐾)
2722, 23, 24, 25, 26lmcvg 21006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) ∧ (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑓)‘𝑘) ∈ 𝑢)
2822r19.2uz 14041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑓)‘𝑘) ∈ 𝑢 → ∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑓)‘𝑘) ∈ 𝑢)
29 simprll 801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) ∧ (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃))) → 𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)))
30 ffn 6012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) → 𝑓 Fn ℕ)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) ∧ (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃))) → 𝑓 Fn ℕ)
32 fvco2 6240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑓 Fn ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑓)‘𝑘) = (𝐹‘(𝑓𝑘)))
3331, 32sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) ∧ (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑓)‘𝑘) = (𝐹‘(𝑓𝑘)))
3433eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) ∧ (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑓)‘𝑘) ∈ 𝑢 ↔ (𝐹‘(𝑓𝑘)) ∈ 𝑢))
3529ffvelrnda 6325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) ∧ (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓𝑘) ∈ (𝑋 ∖ (𝐹𝑢)))
3635eldifad 3572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) ∧ (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓𝑘) ∈ 𝑋)
37 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) → 𝐹:𝑋𝑌)
3837ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) ∧ (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:𝑋𝑌)
39 ffn 6012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐹:𝑋𝑌𝐹 Fn 𝑋)
40 elpreima 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐹 Fn 𝑋 → ((𝑓𝑘) ∈ (𝐹𝑢) ↔ ((𝑓𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘(𝑓𝑘)) ∈ 𝑢)))
4138, 39, 403syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) ∧ (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑓𝑘) ∈ (𝐹𝑢) ↔ ((𝑓𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘(𝑓𝑘)) ∈ 𝑢)))
4235eldifbd 3573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) ∧ (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ (𝑓𝑘) ∈ (𝐹𝑢))
4342pm2.21d 118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) ∧ (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑓𝑘) ∈ (𝐹𝑢) → ⊥))
4441, 43sylbird 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) ∧ (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑓𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘(𝑓𝑘)) ∈ 𝑢) → ⊥))
4536, 44mpand 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) ∧ (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑓𝑘)) ∈ 𝑢 → ⊥))
4634, 45sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) ∧ (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑓)‘𝑘) ∈ 𝑢 → ⊥))
4746rexlimdva 3026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) ∧ (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃))) → (∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑓)‘𝑘) ∈ 𝑢 → ⊥))
4828, 47syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) ∧ (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃))) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑓)‘𝑘) ∈ 𝑢 → ⊥))
4927, 48mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) ∧ (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃))) → ⊥)
5049expr 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃)) → ((𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃) → ⊥))
5121, 50embantd 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃)) → (((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)) → ⊥))
5251ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) → ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)) → ⊥)))
5352com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) → (((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)) → ((𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → ⊥)))
5453impd 447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) → ((((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)) ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃)) → ⊥))
5554exlimdv 1858 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) → (∃𝑓(((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)) ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃)) → ⊥))
5615, 55syl5 34 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) → ((∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)) ∧ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃)) → ⊥))
5756exp4b 631 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐹:𝑋𝑌) → ((𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢) → (∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)) → (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → ⊥))))
5857com23 86 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐹:𝑋𝑌) → (∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)) → ((𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢) → (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → ⊥))))
5958impr 648 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) → ((𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢) → (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → ⊥)))
6059imp 445 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) → (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → ⊥))
6114, 60mtoi 190 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) → ¬ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃))
62 1stccnp.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ 1st𝜔)
6362ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) → 𝐽 ∈ 1st𝜔)
641ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
65 toponuni 20659 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) → 𝑋 = 𝐽)
6717, 66syl5sseq 3638 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) → (𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ⊆ 𝐽)
68 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 𝐽 = 𝐽
69681stcelcls 21204 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ (𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ⊆ 𝐽) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ (𝐹𝑢))) ↔ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃)))
7063, 67, 69syl2anc 692 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ (𝐹𝑢))) ↔ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶(𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃)))
7161, 70mtbird 315 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) → ¬ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ (𝐹𝑢))))
72 topontop 20658 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
7364, 72syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) → 𝐽 ∈ Top)
74 1stccnp.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃𝑋)
7574ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) → 𝑃𝑋)
7675, 66eleqtrd 2700 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) → 𝑃 𝐽)
7768elcls 20817 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑋 ∖ (𝐹𝑢)) ⊆ 𝐽𝑃 𝐽) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ (𝐹𝑢))) ↔ ∀𝑣𝐽 (𝑃𝑣 → (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (𝐹𝑢))) ≠ ∅)))
7873, 67, 76, 77syl3anc 1323 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ (𝐹𝑢))) ↔ ∀𝑣𝐽 (𝑃𝑣 → (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (𝐹𝑢))) ≠ ∅)))
7971, 78mtbid 314 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) → ¬ ∀𝑣𝐽 (𝑃𝑣 → (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (𝐹𝑢))) ≠ ∅))
8013ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣𝐽) → 𝐹:𝑋𝑌)
81 ffun 6015 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝑋𝑌 → Fun 𝐹)
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣𝐽) → Fun 𝐹)
83 toponss 20671 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑣𝐽) → 𝑣𝑋)
8464, 83sylan 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣𝐽) → 𝑣𝑋)
85 fdm 6018 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝑋𝑌 → dom 𝐹 = 𝑋)
8680, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣𝐽) → dom 𝐹 = 𝑋)
8784, 86sseqtr4d 3627 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣𝐽) → 𝑣 ⊆ dom 𝐹)
88 funimass3 6299 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun 𝐹𝑣 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹𝑣) ⊆ 𝑢𝑣 ⊆ (𝐹𝑢)))
8982, 87, 88syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣𝐽) → ((𝐹𝑣) ⊆ 𝑢𝑣 ⊆ (𝐹𝑢)))
90 df-ss 3574 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣𝑋 ↔ (𝑣𝑋) = 𝑣)
9184, 90sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣𝐽) → (𝑣𝑋) = 𝑣)
9291sseq1d 3617 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣𝐽) → ((𝑣𝑋) ⊆ (𝐹𝑢) ↔ 𝑣 ⊆ (𝐹𝑢)))
9389, 92bitr4d 271 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣𝐽) → ((𝐹𝑣) ⊆ 𝑢 ↔ (𝑣𝑋) ⊆ (𝐹𝑢)))
94 nne 2794 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (𝐹𝑢))) ≠ ∅ ↔ (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (𝐹𝑢))) = ∅)
95 inssdif0 3927 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣𝑋) ⊆ (𝐹𝑢) ↔ (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (𝐹𝑢))) = ∅)
9694, 95bitr4i 267 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (𝐹𝑢))) ≠ ∅ ↔ (𝑣𝑋) ⊆ (𝐹𝑢))
9793, 96syl6bbr 278 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣𝐽) → ((𝐹𝑣) ⊆ 𝑢 ↔ ¬ (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (𝐹𝑢))) ≠ ∅))
9897anbi2d 739 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣𝐽) → ((𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ 𝑢) ↔ (𝑃𝑣 ∧ ¬ (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (𝐹𝑢))) ≠ ∅)))
9998rexbidva 3044 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) → (∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ 𝑢) ↔ ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ ¬ (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (𝐹𝑢))) ≠ ∅)))
100 rexanali 2994 . . . . . . 7 (∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ ¬ (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (𝐹𝑢))) ≠ ∅) ↔ ¬ ∀𝑣𝐽 (𝑃𝑣 → (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (𝐹𝑢))) ≠ ∅))
10199, 100syl6bb 276 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) → (∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ 𝑢) ↔ ¬ ∀𝑣𝐽 (𝑃𝑣 → (𝑣 ∩ (𝑋 ∖ (𝐹𝑢))) ≠ ∅)))
10279, 101mpbird 247 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢)) → ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ 𝑢))
103102expr 642 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) ∧ 𝑢𝐾) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ 𝑢)))
104103ralrimiva 2962 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) → ∀𝑢𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ 𝑢)))
105 iscnp 20981 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑢𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ 𝑢)))))
1061, 2, 74, 105syl3anc 1323 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑢𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ 𝑢)))))
107106adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑢𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ 𝑢)))))
10813, 104, 107mpbir2and 956 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃))
10912, 108impbida 876 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑃) → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑃)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  wal 1478   = wceq 1480  wfal 1485  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  wral 2908  wrex 2909  cdif 3557  cin 3559  wss 3560  c0 3897   cuni 4409   class class class wbr 4623  ccnv 5083  dom cdm 5084  cima 5087  ccom 5088  Fun wfun 5851   Fn wfn 5852  wf 5853  cfv 5857  (class class class)co 6615  1c1 9897  cn 10980  cuz 11647  Topctop 20638  TopOnctopon 20655  clsccl 20762   CnP ccnp 20969  𝑡clm 20970  1st𝜔c1stc 21180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cc 9217  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-top 20639  df-topon 20656  df-cld 20763  df-ntr 20764  df-cls 20765  df-cnp 20972  df-lm 20973  df-1stc 21182
This theorem is referenced by:  1stccn  21206  metcnp4  23048
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