Theorem 1st2ndbr 7261

Description: Express an element of a relation as a relationship between first and second components. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
1st2ndbr	⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (1st ‘𝐴)𝐵(2nd ‘𝐴))

Proof of Theorem 1st2ndbr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1st2nd 7258	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)
2		simpr 476	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
3	1, 2	eqeltrrd 2731	. 2 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ 𝐵)
4		df-br 4686	. 2 ⊢ ((1st ‘𝐴)𝐵(2nd ‘𝐴) ↔ ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ 𝐵)
5	3, 4	sylibr 224	1 ⊢ ((Rel 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (1st ‘𝐴)𝐵(2nd ‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 2030  ⟨cop 4216   class class class wbr 4685  Rel wrel 5148  ‘cfv 5926  1^st c1st 7208  2^nd c2nd 7209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fv 5934  df-1st 7210  df-2nd 7211

This theorem is referenced by:  cofuval  16589  cofu1  16591  cofu2  16593  cofucl  16595  cofuass  16596  cofulid  16597  cofurid  16598  funcres  16603  cofull  16641  cofth  16642  isnat2  16655  fuccocl  16671  fucidcl  16672  fuclid  16673  fucrid  16674  fucass  16675  fucsect  16679  fucinv  16680  invfuc  16681  fuciso  16682  natpropd  16683  fucpropd  16684  homahom  16736  homadm  16737  homacd  16738  homadmcd  16739  catciso  16804  prfval  16886  prfcl  16890  prf1st  16891  prf2nd  16892  1st2ndprf  16893  evlfcllem  16908  evlfcl  16909  curf1cl  16915  curf2cl  16918  curfcl  16919  uncf1  16923  uncf2  16924  curfuncf  16925  uncfcurf  16926  diag1cl  16929  diag2cl  16933  curf2ndf  16934  yon1cl  16950  oyon1cl  16958  yonedalem1  16959  yonedalem21  16960  yonedalem3a  16961  yonedalem4c  16964  yonedalem22  16965  yonedalem3b  16966  yonedalem3  16967  yonedainv  16968  yonffthlem  16969  yoniso  16972  utop2nei  22101  utop3cls  22102