MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1sgm2ppw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1sgm2ppw 24970
Description: The sum of the divisors of 2↑(𝑁 − 1). (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
1sgm2ppw (𝑁 ∈ ℕ → (1 σ (2↑(𝑁 − 1))) = ((2↑𝑁) − 1))

Proof of Theorem 1sgm2ppw
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 10032 . . . 4 1 ∈ ℂ
21a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
3 2prm 15452 . . . 4 2 ∈ ℙ
43a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℙ)
5 nnm1nn0 11372 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
6 sgmppw 24967 . . 3 ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℙ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (1 σ (2↑(𝑁 − 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((2↑𝑐1)↑𝑘))
72, 4, 5, 6syl3anc 1366 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (1 σ (2↑(𝑁 − 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((2↑𝑐1)↑𝑘))
8 2cn 11129 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
9 cxp1 24462 . . . . . 6 (2 ∈ ℂ → (2↑𝑐1) = 2)
108, 9mp1i 13 . . . . 5 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (2↑𝑐1) = 2)
1110oveq1d 6705 . . . 4 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → ((2↑𝑐1)↑𝑘) = (2↑𝑘))
1211sumeq2i 14473 . . 3 Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((2↑𝑐1)↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2↑𝑘)
138a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
14 1ne2 11278 . . . . . 6 1 ≠ 2
1514necomi 2877 . . . . 5 2 ≠ 1
1615a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 1)
17 nnnn0 11337 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
1813, 16, 17geoser 14643 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2↑𝑘) = ((1 − (2↑𝑁)) / (1 − 2)))
1912, 18syl5eq 2697 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((2↑𝑐1)↑𝑘) = ((1 − (2↑𝑁)) / (1 − 2)))
20 2nn 11223 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
21 nnexpcl 12913 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
2220, 17, 21sylancr 696 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
2322nncnd 11074 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
24 subcl 10318 . . . . 5 (((2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℂ)
2523, 1, 24sylancl 695 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℂ)
26 ax-1ne0 10043 . . . . 5 1 ≠ 0
2726a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≠ 0)
2825, 2, 27div2negd 10854 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (-((2↑𝑁) − 1) / -1) = (((2↑𝑁) − 1) / 1))
29 negsubdi2 10378 . . . . 5 (((2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((2↑𝑁) − 1) = (1 − (2↑𝑁)))
3023, 1, 29sylancl 695 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → -((2↑𝑁) − 1) = (1 − (2↑𝑁)))
31 df-neg 10307 . . . . . 6 -1 = (0 − 1)
32 0cn 10070 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
33 pnpcan 10358 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((1 + 0) − (1 + 1)) = (0 − 1))
341, 32, 1, 33mp3an 1464 . . . . . 6 ((1 + 0) − (1 + 1)) = (0 − 1)
35 1p0e1 11171 . . . . . . 7 (1 + 0) = 1
36 1p1e2 11172 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
3735, 36oveq12i 6702 . . . . . 6 ((1 + 0) − (1 + 1)) = (1 − 2)
3831, 34, 373eqtr2i 2679 . . . . 5 -1 = (1 − 2)
3938a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → -1 = (1 − 2))
4030, 39oveq12d 6708 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (-((2↑𝑁) − 1) / -1) = ((1 − (2↑𝑁)) / (1 − 2)))
4125div1d 10831 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑𝑁) − 1) / 1) = ((2↑𝑁) − 1))
4228, 40, 413eqtr3d 2693 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 − (2↑𝑁)) / (1 − 2)) = ((2↑𝑁) − 1))
437, 19, 423eqtrd 2689 1 (𝑁 ∈ ℕ → (1 σ (2↑(𝑁 − 1))) = ((2↑𝑁) − 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  ...cfz 12364  cexp 12900  Σcsu 14460  cprime 15432  𝑐ccxp 24347   σ csgm 24867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-pc 15589  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-cxp 24349  df-sgm 24873
This theorem is referenced by:  perfect1  24998  perfectlem1  24999  perfectlem2  25000  perfectALTVlem1  41955  perfectALTVlem2  41956
  Copyright terms: Public domain W3C validator