Theorem 1sdom2 8315

Description: Ordinal 1 is strictly dominated by ordinal 2. (Contributed by NM, 4-Apr-2007.)

Assertion

Ref	Expression
1sdom2	⊢ 1𝑜 ≺ 2𝑜

Proof of Theorem 1sdom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 7873	. . 3 ⊢ 1𝑜 ∈ ω
2		php4 8303	. . 3 ⊢ (1𝑜 ∈ ω → 1𝑜 ≺ suc 1𝑜)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ 1𝑜 ≺ suc 1𝑜
4		df-2o 7714	. 2 ⊢ 2𝑜 = suc 1𝑜
5	3, 4	breqtrri 4813	1 ⊢ 1𝑜 ≺ 2𝑜

Syntax hints:   ∈ wcel 2145   class class class wbr 4786  suc csuc 5868  ωcom 7212  1_𝑜c1o 7706  2_𝑜c2o 7707   ≺ csdm 8108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-om 7213  df-1o 7713  df-2o 7714  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112

This theorem is referenced by:  pm54.43  9026  pr2ne  9028  prdom2  9029  canthp1lem1  9676  canthp1  9678  1nprm  15599