Theorem 1sdom2 8119

Description: Ordinal 1 is strictly dominated by ordinal 2. (Contributed by NM, 4-Apr-2007.)

Assertion

Ref	Expression
1sdom2	⊢ 1𝑜 ≺ 2𝑜

Proof of Theorem 1sdom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 7679	. . 3 ⊢ 1𝑜 ∈ ω
2		php4 8107	. . 3 ⊢ (1𝑜 ∈ ω → 1𝑜 ≺ suc 1𝑜)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ 1𝑜 ≺ suc 1𝑜
4		df-2o 7521	. 2 ⊢ 2𝑜 = suc 1𝑜
5	3, 4	breqtrri 4650	1 ⊢ 1𝑜 ≺ 2𝑜

Syntax hints:   ∈ wcel 1987   class class class wbr 4623  suc csuc 5694  ωcom 7027  1_𝑜c1o 7513  2_𝑜c2o 7514   ≺ csdm 7914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-om 7028  df-1o 7520  df-2o 7521  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918

This theorem is referenced by:  pm54.43  8786  pr2ne  8788  prdom2  8789  canthp1lem1  9434  canthp1  9436  1nprm  15335