MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1pthdlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1pthdlem1 27315
Description: Lemma 1 for 1pthd 27323. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.) (Revised by AV, 22-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
1wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
1wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
Assertion
Ref Expression
1pthdlem1 Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))

Proof of Theorem 1pthdlem1
StepHypRef Expression
1 fun0 6094 . 2 Fun ∅
2 1wlkd.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
32fveq2i 6335 . . . . . . . . . 10 (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽”⟩)
4 s1len 13586 . . . . . . . . . 10 (♯‘⟨“𝐽”⟩) = 1
53, 4eqtri 2793 . . . . . . . . 9 (♯‘𝐹) = 1
65oveq2i 6804 . . . . . . . 8 (1..^(♯‘𝐹)) = (1..^1)
7 fzo0 12700 . . . . . . . 8 (1..^1) = ∅
86, 7eqtri 2793 . . . . . . 7 (1..^(♯‘𝐹)) = ∅
98reseq2i 5531 . . . . . 6 (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) = (𝑃 ↾ ∅)
10 res0 5538 . . . . . 6 (𝑃 ↾ ∅) = ∅
119, 10eqtri 2793 . . . . 5 (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) = ∅
1211cnveqi 5435 . . . 4 (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) =
13 cnv0 5676 . . . 4 ∅ = ∅
1412, 13eqtri 2793 . . 3 (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) = ∅
1514funeqi 6052 . 2 (Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ↔ Fun ∅)
161, 15mpbir 221 1 Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1631  c0 4063  ccnv 5248  cres 5251  Fun wfun 6025  cfv 6031  (class class class)co 6793  1c1 10139  ..^cfzo 12673  chash 13321  ⟨“cs1 13490  ⟨“cs2 13795
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-s1 13498
This theorem is referenced by:  1pthd  27323
  Copyright terms: Public domain W3C validator