Theorem 1pmatscmul 20709

Description: The scalar product of the identity polynomial matrix with a polynomial is a polynomial matrix. (Contributed by AV, 2-Nov-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
1pmatscmul.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
1pmatscmul.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
1pmatscmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
1pmatscmul.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑃)
1pmatscmul.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
1pmatscmul.1	⊢ 1 = (1r‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
1pmatscmul	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) → (𝑄 ∗ 1 ) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem 1pmatscmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pmatscmul.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1ring 19820	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
3	2	anim2i 594	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring))
4	3	3adant3 1127	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring))
5		simp3 1133	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) → 𝑄 ∈ 𝐸)
6		1pmatscmul.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
7	1, 6	pmatring 20700	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
8	7	3adant3 1127	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) → 𝐶 ∈ Ring)
9		1pmatscmul.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
10		1pmatscmul.1	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝐶)
11	9, 10	ringidcl 18768	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
12	8, 11	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) → 1 ∈ 𝐵)
13		1pmatscmul.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑃)
14		1pmatscmul.m	. . 3 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
15	13, 6, 9, 14	matvscl 20439	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) ∧ (𝑄 ∈ 𝐸 ∧ 1 ∈ 𝐵)) → (𝑄 ∗ 1 ) ∈ 𝐵)
16	4, 5, 12, 15	syl12anc 1475	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) → (𝑄 ∗ 1 ) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  Fincfn 8121  Basecbs 16059   ·_𝑠 cvsca 16147  1_rcur 18701  Ringcrg 18747  Poly₁cpl1 19749   Mat cmat 20415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-ot 4330  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-ofr 7063  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-sup 8513  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-hash 13312  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-hom 16168  df-cco 16169  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-prds 16310  df-pws 16312  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-subg 17792  df-ghm 17859  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-subrg 18980  df-lmod 19067  df-lss 19135  df-sra 19374  df-rgmod 19375  df-psr 19558  df-mpl 19560  df-opsr 19562  df-psr1 19752  df-ply1 19754  df-dsmm 20278  df-frlm 20293  df-mamu 20392  df-mat 20416

This theorem is referenced by:  pmatcollpwscmatlem2  20797  pmatcollpwscmat  20798