Theorem 1onn 7764

Description: One is a natural number. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1onn	⊢ 1𝑜 ∈ ω

Proof of Theorem 1onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 7605	. 2 ⊢ 1𝑜 = suc ∅
2		peano1 7127	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
3		peano2 7128	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ω → suc ∅ ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc ∅ ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2726	1 ⊢ 1𝑜 ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2030  ∅c0 3948  suc csuc 5763  ωcom 7107  1_𝑜c1o 7598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936  ax-un 6991

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-tr 4786  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-om 7108  df-1o 7605

This theorem is referenced by:  2onn  7765  oaabs2  7770  omabs  7772  nnm2  7774  nnneo  7776  nneob  7777  snfi  8079  snnen2o  8190  1sdom2  8200  1sdom  8204  unxpdom2  8209  en1eqsn  8231  en2  8237  pwfi  8302  wofib  8491  oancom  8586  cnfcom3clem  8640  card1  8832  pm54.43lem  8863  en2eleq  8869  en2other2  8870  infxpenlem  8874  infxpenc2lem1  8880  infmap2  9078  sdom2en01  9162  cfpwsdom  9444  canthp1lem2  9513  gchcda1  9516  pwxpndom2  9525  pwcdandom  9527  1pi  9743  1lt2pi  9765  indpi  9767  hash2  13231  hash1snb  13245  setcepi  16785  f1otrspeq  17913  pmtrf  17921  pmtrmvd  17922  pmtrfinv  17927  lt6abl  18342  isnzr2  19311  vr1cl  19635  ply1coe  19714  frgpcyg  19970  isppw  24885  bnj906  31126  finxpreclem1  33356  finxpreclem2  33357  finxp1o  33359  finxpreclem4  33361  finxp2o  33366