MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1nn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1nn 11069
Description: Peano postulate: 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 11-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
1nn 1 ∈ ℕ

Proof of Theorem 1nn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1ex 10073 . . . 4 1 ∈ V
2 fr0g 7576 . . . 4 (1 ∈ V → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘∅) = 1)
31, 2ax-mp 5 . . 3 ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘∅) = 1
4 frfnom 7575 . . . 4 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω) Fn ω
5 peano1 7127 . . . 4 ∅ ∈ ω
6 fnfvelrn 6396 . . . 4 (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω) Fn ω ∧ ∅ ∈ ω) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘∅) ∈ ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω))
74, 5, 6mp2an 708 . . 3 ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘∅) ∈ ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
83, 7eqeltrri 2727 . 2 1 ∈ ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
9 df-nn 11059 . . 3 ℕ = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) “ ω)
10 df-ima 5156 . . 3 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) “ ω) = ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
119, 10eqtri 2673 . 2 ℕ = ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
128, 11eleqtrri 2729 1 1 ∈ ℕ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  c0 3948  cmpt 4762  ran crn 5144  cres 5145  cima 5146   Fn wfn 5921  cfv 5926  (class class class)co 6690  ωcom 7107  reccrdg 7550  1c1 9975   + caddc 9977  cn 11058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-1cn 10032
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-nn 11059
This theorem is referenced by:  dfnn2  11071  dfnn3  11072  nnind  11076  nn1suc  11079  2nn  11223  nnunb  11326  1nn0  11346  nn0p1nn  11370  elz2  11432  1z  11445  neg1z  11451  nneo  11499  9p1e10  11534  elnn1uz2  11803  zq  11832  rpnnen1lem4  11855  rpnnen1lem5  11856  rpnnen1lem4OLD  11861  rpnnen1lem5OLD  11862  ser1const  12897  exp1  12906  nnexpcl  12913  expnbnd  13033  3dec  13090  fac1  13104  faccl  13110  faclbnd3  13119  faclbnd4lem1  13120  faclbnd4lem2  13121  faclbnd4lem3  13122  faclbnd4lem4  13123  lsw0  13385  eqs1  13429  ccat2s1p1  13449  cats1un  13521  revs1  13560  cats1fvn  13649  relexpsucnnl  13816  relexpaddg  13837  isercolllem2  14440  isercolllem3  14441  isercoll  14442  sumsnf  14517  sumsn  14519  climcndslem1  14625  climcndslem2  14626  fprodnncl  14729  prodsn  14736  prodsnf  14738  nnrisefaccl  14794  eftlub  14883  eirrlem  14976  rpnnen2lem5  14991  rpnnen2lem8  14994  rpnnen2lem12  14998  dvdsle  15079  n2dvds1  15151  ndvdsp1  15182  gcd1  15296  bezoutr1  15329  1nprm  15439  1idssfct  15440  isprm2lem  15441  qden1elz  15512  phi1  15525  phiprm  15529  pcpre1  15594  pczpre  15599  pcmptcl  15642  pcmpt  15643  infpnlem2  15662  prmreclem1  15667  prmreclem6  15672  mul4sq  15705  vdwmc2  15730  vdwlem8  15739  vdwlem13  15744  vdwnnlem3  15748  prmocl  15785  prmop1  15789  fvprmselelfz  15795  fvprmselgcd1  15796  prmolefac  15797  prmodvdslcmf  15798  prmgapprmo  15813  5prm  15862  7prm  15864  11prm  15869  13prm  15870  17prm  15871  19prm  15872  37prm  15875  43prm  15876  83prm  15877  139prm  15878  163prm  15879  317prm  15880  631prm  15881  1259lem4  15888  1259lem5  15889  1259prm  15890  2503lem3  15893  2503prm  15894  4001lem1  15895  4001lem2  15896  4001lem3  15897  4001lem4  15898  4001prm  15899  baseid  15966  basendx  15970  basendxnn  15971  ressval3d  15984  1strstr  16026  2strstr  16030  basendxnplusgndx  16036  basendxnmulrndx  16046  rngstr  16047  lmodstr  16064  topgrpstr  16089  otpsstr  16098  otpsstrOLD  16102  ocndx  16107  ocid  16108  ressds  16120  resshom  16125  ressco  16126  slotsbhcdif  16127  oppcbas  16425  rescbas  16536  rescabs  16540  catstr  16664  estrreslem1  16824  ipostr  17200  mulg1  17595  mulg2  17597  oppgbas  17827  od1  18022  gex1  18052  efgsval2  18192  efgsp1  18196  torsubg  18303  pgpfaclem1  18526  mgpbas  18541  mgpds  18545  opprbas  18675  rmodislmod  18979  srabase  19226  srads  19234  opsrbas  19527  cnfldfun  19806  zlmbas  19914  znbas2  19936  thlbas  20088  thlle  20089  pmatcollpw3fi1lem2  20640  hauspwdom  21352  ressunif  22113  tuslem  22118  imasdsf1olem  22225  setsmsds  22328  tmslem  22334  tnglem  22491  tngbas  22492  tngds  22499  cphipval  23088  bcthlem4  23170  bcth3  23174  ovolmge0  23291  ovollb2  23303  ovolctb  23304  ovolunlem1a  23310  ovolunlem1  23311  ovoliunlem1  23316  ovoliun  23319  ovoliun2  23320  ovolicc1  23330  voliunlem1  23364  volsup  23370  ioombl1lem2  23373  ioombl1lem4  23375  uniioombllem1  23395  uniioombllem2  23397  uniioombllem6  23402  itg1climres  23526  itg2seq  23554  itg2monolem1  23562  itg2monolem2  23563  itg2monolem3  23564  itg2mono  23565  itg2i1fseq2  23568  itg2cnlem1  23573  aalioulem5  24136  aaliou2b  24141  aaliou3lem4  24146  aaliou3lem7  24149  dcubic1lem  24615  dcubic2  24616  mcubic  24619  log2ub  24721  emcllem6  24772  emcllem7  24773  lgam1  24835  gam1  24836  ftalem7  24850  efnnfsumcl  24874  vmaprm  24888  efvmacl  24891  efchtdvds  24930  vma1  24937  prmorcht  24949  sqff1o  24953  pclogsum  24985  perfectlem1  24999  perfectlem2  25000  bpos1  25053  bposlem5  25058  lgsdir  25102  lgs1  25111  lgsquad2lem2  25155  dchrmusumlema  25227  dchrisum0lema  25248  trkgstr  25388  ttgbas  25802  ttgplusg  25803  ttgvsca  25805  eengstr  25905  baseltedgf  25917  basvtxvalOLD  25948  usgrexmplef  26196  lfgrn1cycl  26753  clwwlkn1  27004  ipval2  27690  opsqrlem2  29128  ssnnssfz  29677  nnindf  29693  nn0min  29695  isarchi3  29869  resvbas  29960  rge0scvg  30123  zlmds  30136  qqh0  30156  qqh1  30157  esumfzf  30259  esumfsup  30260  esumpcvgval  30268  voliune  30420  eulerpartgbij  30562  eulerpartlemgs2  30570  fib2  30592  rrvsum  30644  ballotlem4  30688  ballotlemi1  30692  ballotlemii  30693  ballotlemic  30696  ballotlem1c  30697  hgt750lem  30857  hgt750leme  30864  faclimlem1  31755  nn0prpwlem  32442  nn0prpw  32443  poimirlem32  33571  ovoliunnfl  33581  voliunnfl  33583  volsupnfl  33584  incsequz  33674  bfplem1  33751  rrncmslem  33761  hlhilsbase  37548  jm2.23  37880  rmydioph  37898  rmxdioph  37900  expdiophlem2  37906  expdioph  37907  relexp2  38286  iunrelexpmin1  38317  iunrelexpmin2  38321  dftrcl3  38329  fvtrcllb1d  38331  cotrcltrcl  38334  corcltrcl  38348  cotrclrcl  38351  prmunb2  38827  sumsnd  39499  nnn0  39908  xrralrecnnge  39926  iooiinicc  40087  iooiinioc  40101  mccl  40148  sumnnodd  40180  wallispilem4  40603  wallispi2lem1  40606  wallispi2lem2  40607  stirlinglem8  40616  stirlinglem11  40619  stirlinglem12  40620  stirlinglem13  40621  fourierdlem31  40673  nnfoctbdjlem  40990  hoicvr  41083  hoicvrrex  41091  hoidmvlelem3  41132  ovnhoilem1  41136  ovnhoilem2  41137  ovnlecvr2  41145  ovnsubadd2lem  41180  iinhoiicclem  41208  vonicclem2  41219  iccpartlt  41685  257prm  41798  fmtnoprmfac2lem1  41803  fmtno4prmfac193  41810  fmtno4nprmfac193  41811  fmtno5nprm  41820  3ndvds4  41835  139prmALT  41836  31prm  41837  127prm  41840  3exp4mod41  41858  41prothprmlem2  41860  perfectALTVlem1  41955  perfectALTVlem2  41956  nnsum3primesprm  42003  bgoldbtbndlem1  42018  tgblthelfgott  42028  tgblthelfgottOLD  42034  nnsgrpmgm  42141  nnsgrpnmnd  42143  blennn0elnn  42696  blen1  42703
  Copyright terms: Public domain W3C validator