Theorem 1mhdrd 29964

Description: Example theorem demonstrating decimal expansions. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
1mhdrd	⊢ ((0._99) + (0._01)) = 1

Proof of Theorem 1mhdrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 11509	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		9nn0 11518	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3		1nn0 11510	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4	2	dec0h 11724	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
5	4	eqcomi 2780	. . . . 5 ⊢ ;09 = 9
6	5	deceq1i 11706	. . . 4 ⊢ ;;099 = ;99
7	1	dec0h 11724	. . . . . 6 ⊢ 0 = ;00
8	7	eqcomi 2780	. . . . 5 ⊢ ;00 = 0
9	8	deceq1i 11706	. . . 4 ⊢ ;;001 = ;01
10		9cn 11310	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
11	10	addid1i 10425	. . . . . 6 ⊢ (9 + 0) = 9
12	11	oveq1i 6803	. . . . 5 ⊢ ((9 + 0) + 1) = (9 + 1)
13		9p1e10 11698	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) = ;10
14	12, 13	eqtri 2793	. . . 4 ⊢ ((9 + 0) + 1) = ;10
15	2, 2, 1, 3, 6, 9, 14, 1, 13	decaddc 11773	. . 3 ⊢ (;;099 + ;;001) = ;;100
16	1, 2, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 15	dpadd3 29960	. 2 ⊢ ((0._99) + (0._01)) = (1._00)
17	1	dp20u 29925	. . 3 ⊢ _00 = 0
18	17	oveq2i 6804	. 2 ⊢ (1._00) = (1.0)
19	3	dp0u 29949	. 2 ⊢ (1.0) = 1
20	16, 18, 19	3eqtri 2797	1 ⊢ ((0._99) + (0._01)) = 1

Syntax hints:   = wceq 1631  (class class class)co 6793  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141  9c9 11279  ;cdc 11695  _cdp2 29917  .cdp 29935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-dec 11696  df-dp2 29918  df-dp 29936

This theorem is referenced by: (None)