MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1lt2pi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1lt2pi 9927
Description: One is less than two (one plus one). (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
1lt2pi 1𝑜 <N (1𝑜 +N 1𝑜)

Proof of Theorem 1lt2pi
StepHypRef Expression
1 1onn 7871 . . . . 5 1𝑜 ∈ ω
2 nna0 7836 . . . . 5 (1𝑜 ∈ ω → (1𝑜 +𝑜 ∅) = 1𝑜)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (1𝑜 +𝑜 ∅) = 1𝑜
4 0lt1o 7736 . . . . 5 ∅ ∈ 1𝑜
5 peano1 7230 . . . . . 6 ∅ ∈ ω
6 nnaord 7851 . . . . . 6 ((∅ ∈ ω ∧ 1𝑜 ∈ ω ∧ 1𝑜 ∈ ω) → (∅ ∈ 1𝑜 ↔ (1𝑜 +𝑜 ∅) ∈ (1𝑜 +𝑜 1𝑜)))
75, 1, 1, 6mp3an 1570 . . . . 5 (∅ ∈ 1𝑜 ↔ (1𝑜 +𝑜 ∅) ∈ (1𝑜 +𝑜 1𝑜))
84, 7mpbi 220 . . . 4 (1𝑜 +𝑜 ∅) ∈ (1𝑜 +𝑜 1𝑜)
93, 8eqeltrri 2845 . . 3 1𝑜 ∈ (1𝑜 +𝑜 1𝑜)
10 1pi 9905 . . . 4 1𝑜N
11 addpiord 9906 . . . 4 ((1𝑜N ∧ 1𝑜N) → (1𝑜 +N 1𝑜) = (1𝑜 +𝑜 1𝑜))
1210, 10, 11mp2an 707 . . 3 (1𝑜 +N 1𝑜) = (1𝑜 +𝑜 1𝑜)
139, 12eleqtrri 2847 . 2 1𝑜 ∈ (1𝑜 +N 1𝑜)
14 addclpi 9914 . . . 4 ((1𝑜N ∧ 1𝑜N) → (1𝑜 +N 1𝑜) ∈ N)
1510, 10, 14mp2an 707 . . 3 (1𝑜 +N 1𝑜) ∈ N
16 ltpiord 9909 . . 3 ((1𝑜N ∧ (1𝑜 +N 1𝑜) ∈ N) → (1𝑜 <N (1𝑜 +N 1𝑜) ↔ 1𝑜 ∈ (1𝑜 +N 1𝑜)))
1710, 15, 16mp2an 707 . 2 (1𝑜 <N (1𝑜 +N 1𝑜) ↔ 1𝑜 ∈ (1𝑜 +N 1𝑜))
1813, 17mpbir 221 1 1𝑜 <N (1𝑜 +N 1𝑜)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196   = wceq 1629  wcel 2143  c0 4060   class class class wbr 4783  (class class class)co 6791  ωcom 7210  1𝑜c1o 7704   +𝑜 coa 7708  Ncnpi 9866   +N cpli 9867   <N clti 9869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1632  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-ral 3064  df-rex 3065  df-reu 3066  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-pss 3736  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4572  df-iun 4653  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-tr 4884  df-id 5156  df-eprel 5161  df-po 5169  df-so 5170  df-fr 5207  df-we 5209  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-oadd 7715  df-ni 9894  df-pli 9895  df-lti 9897
This theorem is referenced by:  1lt2nq  9995
  Copyright terms: Public domain W3C validator