Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1loopgrvd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1loopgrvd2 26633
 Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 4: an edge from a vertex to itself contributes two to the vertex's degree. I. e. in a graph (simple pseudograph) with one edge which is a loop, the vertex connected with itself by the loop has degree 2. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
1loopgruspgr.v (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1loopgruspgr.a (𝜑𝐴𝑋)
1loopgruspgr.n (𝜑𝑁𝑉)
1loopgruspgr.i (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
Assertion
Ref Expression
1loopgrvd2 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = 2)

Proof of Theorem 1loopgrvd2
Dummy variables 𝑎 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1loopgruspgr.v . . . . 5 (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
2 1loopgruspgr.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑋)
3 1loopgruspgr.n . . . . 5 (𝜑𝑁𝑉)
4 1loopgruspgr.i . . . . 5 (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
51, 2, 3, 41loopgruspgr 26630 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ USPGraph)
6 uspgrushgr 26291 . . . 4 (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ USHGraph)
75, 6syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ USHGraph)
83, 1eleqtrrd 2852 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))
9 eqid 2770 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
10 eqid 2770 . . . 4 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
11 eqid 2770 . . . 4 (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
129, 10, 11vtxdushgrfvedg 26620 . . 3 ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒}) +𝑒 (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}})))
137, 8, 12syl2anc 565 . 2 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒}) +𝑒 (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}})))
14 snex 5036 . . . . . . . 8 {𝑁} ∈ V
15 sneq 4324 . . . . . . . . 9 (𝑎 = {𝑁} → {𝑎} = {{𝑁}})
1615eqeq2d 2780 . . . . . . . 8 (𝑎 = {𝑁} → ({{𝑁}} = {𝑎} ↔ {{𝑁}} = {{𝑁}}))
17 eqid 2770 . . . . . . . 8 {{𝑁}} = {{𝑁}}
1814, 16, 17ceqsexv2d 3392 . . . . . . 7 𝑎{{𝑁}} = {𝑎}
1918a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑎{{𝑁}} = {𝑎})
20 snidg 4343 . . . . . . . . . 10 (𝑁𝑉𝑁 ∈ {𝑁})
213, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ {𝑁})
2221iftrued 4231 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {{𝑁}})
2322eqeq1d 2772 . . . . . . 7 (𝜑 → (if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎} ↔ {{𝑁}} = {𝑎}))
2423exbidv 2001 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑎if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎} ↔ ∃𝑎{{𝑁}} = {𝑎}))
2519, 24mpbird 247 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑎if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎})
261, 2, 3, 41loopgredg 26631 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Edg‘𝐺) = {{𝑁}})
2726rabeqdv 3343 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒} = {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑁𝑒})
28 eleq2 2838 . . . . . . . . 9 (𝑒 = {𝑁} → (𝑁𝑒𝑁 ∈ {𝑁}))
2928rabsnif 4392 . . . . . . . 8 {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑁𝑒} = if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅)
3027, 29syl6eq 2820 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒} = if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅))
3130eqeq1d 2772 . . . . . 6 (𝜑 → ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒} = {𝑎} ↔ if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎}))
3231exbidv 2001 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒} = {𝑎} ↔ ∃𝑎if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎}))
3325, 32mpbird 247 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒} = {𝑎})
34 fvex 6342 . . . . . 6 (Edg‘𝐺) ∈ V
3534rabex 4943 . . . . 5 {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒} ∈ V
36 hash1snb 13408 . . . . 5 ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒} ∈ V → ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒}) = 1 ↔ ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒} = {𝑎}))
3735, 36ax-mp 5 . . . 4 ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒}) = 1 ↔ ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒} = {𝑎})
3833, 37sylibr 224 . . 3 (𝜑 → (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒}) = 1)
39 eqid 2770 . . . . . . . . 9 {𝑁} = {𝑁}
4039iftruei 4230 . . . . . . . 8 if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {{𝑁}}
4140eqeq1i 2775 . . . . . . 7 (if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎} ↔ {{𝑁}} = {𝑎})
4241exbii 1923 . . . . . 6 (∃𝑎if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎} ↔ ∃𝑎{{𝑁}} = {𝑎})
4319, 42sylibr 224 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑎if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎})
4426rabeqdv 3343 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑒 = {𝑁}})
45 eqeq1 2774 . . . . . . . . 9 (𝑒 = {𝑁} → (𝑒 = {𝑁} ↔ {𝑁} = {𝑁}))
4645rabsnif 4392 . . . . . . . 8 {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑒 = {𝑁}} = if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅)
4744, 46syl6eq 2820 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅))
4847eqeq1d 2772 . . . . . 6 (𝜑 → ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎} ↔ if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎}))
4948exbidv 2001 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎} ↔ ∃𝑎if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎}))
5043, 49mpbird 247 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎})
5134rabex 4943 . . . . 5 {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} ∈ V
52 hash1snb 13408 . . . . 5 ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} ∈ V → ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}}) = 1 ↔ ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎}))
5351, 52ax-mp 5 . . . 4 ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}}) = 1 ↔ ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎})
5450, 53sylibr 224 . . 3 (𝜑 → (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}}) = 1)
5538, 54oveq12d 6810 . 2 (𝜑 → ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒}) +𝑒 (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}})) = (1 +𝑒 1))
56 1re 10240 . . . . 5 1 ∈ ℝ
57 rexadd 12267 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 +𝑒 1) = (1 + 1))
5856, 56, 57mp2an 664 . . . 4 (1 +𝑒 1) = (1 + 1)
59 1p1e2 11335 . . . 4 (1 + 1) = 2
6058, 59eqtri 2792 . . 3 (1 +𝑒 1) = 2
6160a1i 11 . 2 (𝜑 → (1 +𝑒 1) = 2)
6213, 55, 613eqtrd 2808 1 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = 2)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1630  ∃wex 1851   ∈ wcel 2144  {crab 3064  Vcvv 3349  ∅c0 4061  ifcif 4223  {csn 4314  ⟨cop 4320  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  ℝcr 10136  1c1 10138   + caddc 10140  2c2 11271   +𝑒 cxad 12148  ♯chash 13320  Vtxcvtx 26094  iEdgciedg 26095  Edgcedg 26159  USHGraphcushgr 26172  USPGraphcuspgr 26264  VtxDegcvtxdg 26595 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-card 8964  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-n0 11494  df-xnn0 11565  df-z 11579  df-uz 11888  df-xadd 12151  df-fz 12533  df-hash 13321  df-edg 26160  df-uhgr 26173  df-ushgr 26174  df-uspgr 26266  df-vtxdg 26596 This theorem is referenced by:  uspgrloopvd2  26650  eupth2lem3lem3  27407
 Copyright terms: Public domain W3C validator