Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1loopgrvd0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1loopgrvd0 26632
 Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 1 (for a loop): a loop at a vertex other than the given vertex contributes nothing to the vertex degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
1loopgruspgr.v (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1loopgruspgr.a (𝜑𝐴𝑋)
1loopgruspgr.n (𝜑𝑁𝑉)
1loopgruspgr.i (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
1loopgrvd0.k (𝜑𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}))
Assertion
Ref Expression
1loopgrvd0 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐾) = 0)

Proof of Theorem 1loopgrvd0
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1loopgrvd0.k . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}))
21eldifbd 3729 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐾 ∈ {𝑁})
3 1loopgruspgr.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑋)
4 snex 5058 . . . . . 6 {𝑁} ∈ V
5 fvsng 6613 . . . . . 6 ((𝐴𝑋 ∧ {𝑁} ∈ V) → ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴) = {𝑁})
63, 4, 5sylancl 697 . . . . 5 (𝜑 → ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴) = {𝑁})
76eleq2d 2826 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴) ↔ 𝐾 ∈ {𝑁}))
82, 7mtbird 314 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴))
9 1loopgruspgr.i . . . . . . 7 (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
109dmeqd 5482 . . . . . 6 (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
11 dmsnopg 5766 . . . . . . 7 ({𝑁} ∈ V → dom {⟨𝐴, {𝑁}⟩} = {𝐴})
124, 11mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → dom {⟨𝐴, {𝑁}⟩} = {𝐴})
1310, 12eqtrd 2795 . . . . 5 (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴})
149fveq1d 6356 . . . . . 6 (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖))
1514eleq2d 2826 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) ↔ 𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖)))
1613, 15rexeqbidv 3293 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐾 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ {𝐴}𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖)))
17 fveq2 6354 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝐴 → ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖) = ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴))
1817eleq2d 2826 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐴 → (𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖) ↔ 𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴)))
1918rexsng 4364 . . . . 5 (𝐴𝑋 → (∃𝑖 ∈ {𝐴}𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖) ↔ 𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴)))
203, 19syl 17 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ {𝐴}𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖) ↔ 𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴)))
2116, 20bitrd 268 . . 3 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐾 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) ↔ 𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴)))
228, 21mtbird 314 . 2 (𝜑 → ¬ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐾 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖))
231eldifad 3728 . . . 4 (𝜑𝐾𝑉)
24 1loopgruspgr.v . . . . 5 (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
2524eleq2d 2826 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝐾𝑉))
2623, 25mpbird 247 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺))
27 eqid 2761 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
28 eqid 2761 . . . 4 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
29 eqid 2761 . . . 4 (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
3027, 28, 29vtxd0nedgb 26616 . . 3 (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝐾) = 0 ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐾 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
3126, 30syl 17 . 2 (𝜑 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝐾) = 0 ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐾 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
3222, 31mpbird 247 1 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐾) = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1632   ∈ wcel 2140  ∃wrex 3052  Vcvv 3341   ∖ cdif 3713  {csn 4322  ⟨cop 4328  dom cdm 5267  ‘cfv 6050  0cc0 10149  Vtxcvtx 26095  iEdgciedg 26096  VtxDegcvtxdg 26593 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-card 8976  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-n0 11506  df-xnn0 11577  df-z 11591  df-uz 11901  df-xadd 12161  df-fz 12541  df-hash 13333  df-vtxdg 26594 This theorem is referenced by:  1egrvtxdg0  26639  eupth2lem3lem3  27404
 Copyright terms: Public domain W3C validator