MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1idssfct Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1idssfct 15600
Description: The positive divisors of a positive integer include 1 and itself. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
1idssfct (𝑁 ∈ ℕ → {1, 𝑁} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁})
Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem 1idssfct
StepHypRef Expression
1 1nn 11237 . . 3 1 ∈ ℕ
2 nnz 11606 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
3 1dvds 15205 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑁)
42, 3syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∥ 𝑁)
5 breq1 4790 . . . . 5 (𝑛 = 1 → (𝑛𝑁 ↔ 1 ∥ 𝑁))
65elrab 3515 . . . 4 (1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} ↔ (1 ∈ ℕ ∧ 1 ∥ 𝑁))
76biimpri 218 . . 3 ((1 ∈ ℕ ∧ 1 ∥ 𝑁) → 1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁})
81, 4, 7sylancr 575 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁})
9 iddvds 15204 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁𝑁)
102, 9syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁𝑁)
11 breq1 4790 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛𝑁𝑁𝑁))
1211elrab 3515 . . . 4 (𝑁 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑁))
1312biimpri 218 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑁) → 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁})
1410, 13mpdan 667 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁})
15 prssi 4488 . 2 ((1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁}) → {1, 𝑁} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁})
168, 14, 15syl2anc 573 1 (𝑁 ∈ ℕ → {1, 𝑁} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 2145  {crab 3065  wss 3723  {cpr 4319   class class class wbr 4787  1c1 10143  cn 11226  cz 11584  cdvds 15189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-z 11585  df-dvds 15190
This theorem is referenced by:  isprm2  15602
  Copyright terms: Public domain W3C validator