MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1hevtxdg0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1hevtxdg0 26603
Description: The vertex degree of vertex 𝐷 in a graph 𝐺 with only one hyperedge 𝐸 is 0 if 𝐷 is not incident with the edge 𝐸. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
1hevtxdg0.i (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
1hevtxdg0.v (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1hevtxdg0.a (𝜑𝐴𝑋)
1hevtxdg0.d (𝜑𝐷𝑉)
1hevtxdg0.e (𝜑𝐸𝑌)
1hevtxdg0.n (𝜑𝐷𝐸)
Assertion
Ref Expression
1hevtxdg0 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 0)

Proof of Theorem 1hevtxdg0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1hevtxdg0.n . . . . . . 7 (𝜑𝐷𝐸)
2 df-nel 3028 . . . . . . 7 (𝐷𝐸 ↔ ¬ 𝐷𝐸)
31, 2sylib 208 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝐷𝐸)
4 1hevtxdg0.i . . . . . . . 8 (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
54fveq1d 6346 . . . . . . 7 (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴))
6 1hevtxdg0.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑋)
7 1hevtxdg0.e . . . . . . . 8 (𝜑𝐸𝑌)
8 fvsng 6603 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑋𝐸𝑌) → ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴) = 𝐸)
96, 7, 8syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴) = 𝐸)
105, 9eqtrd 2786 . . . . . 6 (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) = 𝐸)
113, 10neleqtrrd 2853 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴))
12 fveq2 6344 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = ((iEdg‘𝐺)‘𝐴))
1312eleq2d 2817 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴)))
1413notbid 307 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴)))
1514ralsng 4354 . . . . . 6 (𝐴𝑋 → (∀𝑥 ∈ {𝐴} ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴)))
166, 15syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ {𝐴} ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴)))
1711, 16mpbird 247 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝐴} ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
184dmeqd 5473 . . . . . 6 (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, 𝐸⟩})
19 dmsnopg 5757 . . . . . . 7 (𝐸𝑌 → dom {⟨𝐴, 𝐸⟩} = {𝐴})
207, 19syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom {⟨𝐴, 𝐸⟩} = {𝐴})
2118, 20eqtrd 2786 . . . . 5 (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴})
2221raleqdv 3275 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐴} ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
2317, 22mpbird 247 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
24 ralnex 3122 . . 3 (∀𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
2523, 24sylib 208 . 2 (𝜑 → ¬ ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
26 1hevtxdg0.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑉)
27 1hevtxdg0.v . . . . 5 (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
2827eleq2d 2817 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝐷𝑉))
2926, 28mpbird 247 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺))
30 eqid 2752 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
31 eqid 2752 . . . 4 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
32 eqid 2752 . . . 4 (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
3330, 31, 32vtxd0nedgb 26586 . . 3 (𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 0 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
3429, 33syl 17 . 2 (𝜑 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 0 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
3525, 34mpbird 247 1 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196   = wceq 1624  wcel 2131  wnel 3027  wral 3042  wrex 3043  {csn 4313  cop 4319  dom cdm 5258  cfv 6041  0cc0 10120  Vtxcvtx 26065  iEdgciedg 26066  VtxDegcvtxdg 26563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8947  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-n0 11477  df-xnn0 11548  df-z 11562  df-uz 11872  df-xadd 12132  df-fz 12512  df-hash 13304  df-vtxdg 26564
This theorem is referenced by:  p1evtxdeq  26611  eupth2lem3lem6  27377
  Copyright terms: Public domain W3C validator