MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1exp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1exp 13095
Description: Value of one raised to a nonnegative integer power. (Contributed by NM, 15-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
1exp (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)

Proof of Theorem 1exp
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1ex 10236 . . . 4 1 ∈ V
21snid 4345 . . 3 1 ∈ {1}
3 ax-1ne0 10206 . . 3 1 ≠ 0
4 ax-1cn 10195 . . . . 5 1 ∈ ℂ
5 snssi 4472 . . . . 5 (1 ∈ ℂ → {1} ⊆ ℂ)
64, 5ax-mp 5 . . . 4 {1} ⊆ ℂ
7 elsni 4331 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {1} → 𝑥 = 1)
8 elsni 4331 . . . . . 6 (𝑦 ∈ {1} → 𝑦 = 1)
9 oveq12 6801 . . . . . . 7 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = (1 · 1))
10 1t1e1 11376 . . . . . . 7 (1 · 1) = 1
119, 10syl6eq 2820 . . . . . 6 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = 1)
127, 8, 11syl2an 575 . . . . 5 ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑦 ∈ {1}) → (𝑥 · 𝑦) = 1)
13 ovex 6822 . . . . . 6 (𝑥 · 𝑦) ∈ V
1413elsn 4329 . . . . 5 ((𝑥 · 𝑦) ∈ {1} ↔ (𝑥 · 𝑦) = 1)
1512, 14sylibr 224 . . . 4 ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑦 ∈ {1}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1})
167oveq2d 6808 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) = (1 / 1))
17 1div1e1 10918 . . . . . . 7 (1 / 1) = 1
1816, 17syl6eq 2820 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) = 1)
19 ovex 6822 . . . . . . 7 (1 / 𝑥) ∈ V
2019elsn 4329 . . . . . 6 ((1 / 𝑥) ∈ {1} ↔ (1 / 𝑥) = 1)
2118, 20sylibr 224 . . . . 5 (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) ∈ {1})
2221adantr 466 . . . 4 ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ {1})
236, 15, 2, 22expcl2lem 13078 . . 3 ((1 ∈ {1} ∧ 1 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1↑𝑁) ∈ {1})
242, 3, 23mp3an12 1561 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) ∈ {1})
25 elsni 4331 . 2 ((1↑𝑁) ∈ {1} → (1↑𝑁) = 1)
2624, 25syl 17 1 (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942  wss 3721  {csn 4314  (class class class)co 6792  cc 10135  0cc0 10137  1c1 10138   · cmul 10142   / cdiv 10885  cz 11578  cexp 13066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-seq 13008  df-exp 13067
This theorem is referenced by:  exprec  13107  sq1  13164  iexpcyc  13175  faclbnd4lem1  13283  iseraltlem2  14620  iseraltlem3  14621  binom1p  14769  binom11  14770  pwm1geoser  14806  esum  15016  ege2le3  15025  eirrlem  15137  odzdvds  15706  iblabsr  23815  iblmulc2  23816  abelthlem1  24404  abelthlem3  24406  abelthlem8  24412  abelthlem9  24413  ef2kpi  24450  root1cj  24717  cxpeq  24718  quart  24808  leibpi  24889  log2cnv  24891  mule1  25094  lgseisenlem1  25320  lgseisenlem4  25323  lgseisen  25324  lgsquadlem1  25325  lgsquad2lem1  25329  m1lgs  25333  dchrisum0flblem1  25417  subfaclim  31502  iblmulc2nc  33800  expdioph  38109  lhe4.4ex1a  39047  fprodexp  40338  stoweidlem7  40735  stirlinglem5  40806  stirlinglem7  40808  stirlinglem10  40811  pwm1geoserALT  42020  2pwp1prm  42021  m1expevenALTV  42078  altgsumbc  42648
  Copyright terms: Public domain W3C validator