Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1elcpmat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1elcpmat 20740
 Description: The identity of the ring of all polynomial matrices over the ring 𝑅 is a constant polynomial matrix. (Contributed by AV, 16-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cpmatsrngpmat.s 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
cpmatsrngpmat.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
cpmatsrngpmat.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
Assertion
Ref Expression
1elcpmat ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐶) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem 1elcpmat
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 (1r𝑅) = (1r𝑅)
31, 2ringidcl 18776 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
43ancli 538 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅)))
54adantl 467 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅)))
65ad2antrl 707 . . . . . . 7 ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁))) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅)))
7 eqid 2771 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
8 cpmatsrngpmat.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1𝑅)
9 eqid 2771 . . . . . . . 8 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
10 eqid 2771 . . . . . . . 8 (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
111, 7, 8, 9, 10cply1coe0 19884 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)))‘𝑛) = (0g𝑅))
126, 11syl 17 . . . . . 6 ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁))) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)))‘𝑛) = (0g𝑅))
13 iftrue 4232 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))) = ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)))
1413fveq2d 6337 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → (coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))) = (coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅))))
1514fveq1d 6335 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)))‘𝑛))
1615eqeq1d 2773 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 → (((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = (0g𝑅) ↔ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)))‘𝑛) = (0g𝑅)))
1716ralbidv 3135 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = (0g𝑅) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)))‘𝑛) = (0g𝑅)))
1817adantr 466 . . . . . 6 ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁))) → (∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = (0g𝑅) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)))‘𝑛) = (0g𝑅)))
1912, 18mpbird 247 . . . . 5 ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁))) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = (0g𝑅))
201, 7ring0cl 18777 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
2120ancli 538 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ Ring ∧ (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅)))
2221adantl 467 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅)))
231, 7, 8, 9, 10cply1coe0 19884 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))‘𝑛) = (0g𝑅))
2422, 23syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))‘𝑛) = (0g𝑅))
2524ad2antrl 707 . . . . . 6 ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁))) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))‘𝑛) = (0g𝑅))
26 iffalse 4235 . . . . . . . . . . 11 𝑖 = 𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))) = ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))
2726adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁))) → if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))) = ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))
2827fveq2d 6337 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁))) → (coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))) = (coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))
2928fveq1d 6335 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁))) → ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))‘𝑛))
3029eqeq1d 2773 . . . . . . 7 ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁))) → (((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = (0g𝑅) ↔ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))‘𝑛) = (0g𝑅)))
3130ralbidv 3135 . . . . . 6 ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁))) → (∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = (0g𝑅) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))‘𝑛) = (0g𝑅)))
3225, 31mpbird 247 . . . . 5 ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁))) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = (0g𝑅))
3319, 32pm2.61ian 813 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = (0g𝑅))
3433ralrimivva 3120 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = (0g𝑅))
35 cpmatsrngpmat.c . . . . . . . . 9 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
36 simpll 750 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
37 simplr 752 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
38 simprl 754 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑖𝑁)
39 simprr 756 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑗𝑁)
40 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (1r𝐶) = (1r𝐶)
418, 35, 10, 7, 2, 36, 37, 38, 39, 40pmat1ovscd 20725 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(1r𝐶)𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))
4241fveq2d 6337 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (coe1‘(𝑖(1r𝐶)𝑗)) = (coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))))
4342fveq1d 6335 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ((coe1‘(𝑖(1r𝐶)𝑗))‘𝑛) = ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛))
4443eqeq1d 2773 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (((coe1‘(𝑖(1r𝐶)𝑗))‘𝑛) = (0g𝑅) ↔ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = (0g𝑅)))
4544ralbidv 3135 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(1r𝐶)𝑗))‘𝑛) = (0g𝑅) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = (0g𝑅)))
46452ralbidva 3137 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(1r𝐶)𝑗))‘𝑛) = (0g𝑅) ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = (0g𝑅)))
4734, 46mpbird 247 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(1r𝐶)𝑗))‘𝑛) = (0g𝑅))
488, 35pmatring 20718 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
49 eqid 2771 . . . . 5 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5049, 40ringidcl 18776 . . . 4 (𝐶 ∈ Ring → (1r𝐶) ∈ (Base‘𝐶))
5148, 50syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐶) ∈ (Base‘𝐶))
52 cpmatsrngpmat.s . . . 4 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
5352, 8, 35, 49cpmatel 20736 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝐶) ∈ (Base‘𝐶)) → ((1r𝐶) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(1r𝐶)𝑗))‘𝑛) = (0g𝑅)))
5451, 53mpd3an3 1573 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r𝐶) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(1r𝐶)𝑗))‘𝑛) = (0g𝑅)))
5547, 54mpbird 247 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐶) ∈ 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  ifcif 4226  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  Fincfn 8113  ℕcn 11226  Basecbs 16064  0gc0g 16308  1rcur 18709  Ringcrg 18755  algSccascl 19526  Poly1cpl1 19762  coe1cco1 19763   Mat cmat 20430   ConstPolyMat ccpmat 20728 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-ot 4326  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-ofr 7049  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-sup 8508  df-oi 8575  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-hom 16174  df-cco 16175  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-prds 16316  df-pws 16318  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-subg 17799  df-ghm 17866  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-subrg 18988  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-sra 19387  df-rgmod 19388  df-ascl 19529  df-psr 19571  df-mvr 19572  df-mpl 19573  df-opsr 19575  df-psr1 19765  df-vr1 19766  df-ply1 19767  df-coe1 19768  df-dsmm 20293  df-frlm 20308  df-mamu 20407  df-mat 20431  df-cpmat 20731 This theorem is referenced by:  cpmatsubgpmat  20745  cpmatsrgpmat  20746
 Copyright terms: Public domain W3C validator