Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1cvrjat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1cvrjat 35283
Description: An element covered by the lattice unit, when joined with an atom not under it, equals the lattice unit. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
1cvrjat.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
1cvrjat.l = (le‘𝐾)
1cvrjat.j = (join‘𝐾)
1cvrjat.u 1 = (1.‘𝐾)
1cvrjat.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
1cvrjat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
1cvrjat (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → (𝑋 𝑃) = 1 )

Proof of Theorem 1cvrjat
StepHypRef Expression
1 simprr 756 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → ¬ 𝑃 𝑋)
2 1cvrjat.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 1cvrjat.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
4 1cvrjat.j . . . . . . . 8 = (join‘𝐾)
5 1cvrjat.c . . . . . . . 8 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
6 1cvrjat.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
72, 3, 4, 5, 6cvr1 35218 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (¬ 𝑃 𝑋𝑋𝐶(𝑋 𝑃)))
87adantr 466 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → (¬ 𝑃 𝑋𝑋𝐶(𝑋 𝑃)))
91, 8mpbid 222 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → 𝑋𝐶(𝑋 𝑃))
10 simpl1 1227 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
11 hlop 35171 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → 𝐾 ∈ OP)
13 simpl2 1229 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → 𝑋𝐵)
14 hllat 35172 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
1510, 14syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → 𝐾 ∈ Lat)
16 simpl3 1231 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → 𝑃𝐴)
172, 6atbase 35098 . . . . . . . 8 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → 𝑃𝐵)
192, 4latjcl 17259 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐵) → (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵)
2015, 13, 18, 19syl3anc 1476 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵)
21 eqid 2771 . . . . . . 7 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
222, 21, 5cvrcon3b 35086 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶(𝑋 𝑃) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
2312, 13, 20, 22syl3anc 1476 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → (𝑋𝐶(𝑋 𝑃) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
249, 23mpbid 222 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))
25 hlatl 35169 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
2610, 25syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → 𝐾 ∈ AtLat)
272, 21opoccl 35003 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃)) ∈ 𝐵)
2812, 20, 27syl2anc 573 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃)) ∈ 𝐵)
292, 21opoccl 35003 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
3012, 13, 29syl2anc 573 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
31 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
32 1cvrjat.u . . . . . . . . 9 1 = (1.‘𝐾)
3331, 32, 21opoc1 35011 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ OP → ((oc‘𝐾)‘ 1 ) = (0.‘𝐾))
3410, 11, 333syl 18 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘ 1 ) = (0.‘𝐾))
35 simprl 754 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → 𝑋𝐶 1 )
362, 32op1cl 34994 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ OP → 1𝐵)
3710, 11, 363syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → 1𝐵)
382, 21, 5cvrcon3b 35086 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵1𝐵) → (𝑋𝐶 1 ↔ ((oc‘𝐾)‘ 1 )𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
3912, 13, 37, 38syl3anc 1476 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → (𝑋𝐶 1 ↔ ((oc‘𝐾)‘ 1 )𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
4035, 39mpbid 222 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘ 1 )𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))
4134, 40eqbrtrrd 4810 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → (0.‘𝐾)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))
422, 31, 5, 6isat 35095 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴 ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))))
4310, 42syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴 ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))))
4430, 41, 43mpbir2and 692 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴)
452, 3, 31, 5, 6atcvreq0 35123 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃)) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐴) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃)) = (0.‘𝐾)))
4626, 28, 44, 45syl3anc 1476 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃))𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃)) = (0.‘𝐾)))
4724, 46mpbid 222 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃)) = (0.‘𝐾))
4847fveq2d 6336 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃))) = ((oc‘𝐾)‘(0.‘𝐾)))
492, 21opococ 35004 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 𝑃) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃))) = (𝑋 𝑃))
5012, 20, 49syl2anc 573 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑃))) = (𝑋 𝑃))
5131, 32, 21opoc0 35012 . . 3 (𝐾 ∈ OP → ((oc‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = 1 )
5210, 11, 513syl 18 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → ((oc‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = 1 )
5348, 50, 523eqtr3d 2813 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐶 1 ∧ ¬ 𝑃 𝑋)) → (𝑋 𝑃) = 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  lecple 16156  occoc 16157  joincjn 17152  0.cp0 17245  1.cp1 17246  Latclat 17253  OPcops 34981  ccvr 35071  Atomscatm 35072  AtLatcal 35073  HLchlt 35159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-p1 17248  df-lat 17254  df-clat 17316  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160
This theorem is referenced by:  1cvrat  35284  lhpjat1  35828
  Copyright terms: Public domain W3C validator