MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1cubr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1cubr 24768
Description: The cube roots of unity. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1cubr.r 𝑅 = {1, ((-1 + (i · (√‘3))) / 2), ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)}
Assertion
Ref Expression
1cubr (𝐴𝑅 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑3) = 1))

Proof of Theorem 1cubr
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1cubr.r . . . . 5 𝑅 = {1, ((-1 + (i · (√‘3))) / 2), ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)}
2 ax-1cn 10186 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
3 neg1cn 11316 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℂ
4 ax-icn 10187 . . . . . . . . . 10 i ∈ ℂ
5 3cn 11287 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℂ
6 sqrtcl 14300 . . . . . . . . . . 11 (3 ∈ ℂ → (√‘3) ∈ ℂ)
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (√‘3) ∈ ℂ
84, 7mulcli 10237 . . . . . . . . 9 (i · (√‘3)) ∈ ℂ
93, 8addcli 10236 . . . . . . . 8 (-1 + (i · (√‘3))) ∈ ℂ
10 halfcl 11449 . . . . . . . 8 ((-1 + (i · (√‘3))) ∈ ℂ → ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ)
119, 10ax-mp 5 . . . . . . 7 ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ
123, 8subcli 10549 . . . . . . . 8 (-1 − (i · (√‘3))) ∈ ℂ
13 halfcl 11449 . . . . . . . 8 ((-1 − (i · (√‘3))) ∈ ℂ → ((-1 − (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 ((-1 − (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ
152, 11, 143pm3.2i 1424 . . . . . 6 (1 ∈ ℂ ∧ ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ ∧ ((-1 − (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ)
162elexi 3353 . . . . . . 7 1 ∈ V
17 ovex 6841 . . . . . . 7 ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∈ V
18 ovex 6841 . . . . . . 7 ((-1 − (i · (√‘3))) / 2) ∈ V
1916, 17, 18tpss 4513 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ ∧ ((-1 − (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ) ↔ {1, ((-1 + (i · (√‘3))) / 2), ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)} ⊆ ℂ)
2015, 19mpbi 220 . . . . 5 {1, ((-1 + (i · (√‘3))) / 2), ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)} ⊆ ℂ
211, 20eqsstri 3776 . . . 4 𝑅 ⊆ ℂ
2221sseli 3740 . . 3 (𝐴𝑅𝐴 ∈ ℂ)
2322pm4.71ri 668 . 2 (𝐴𝑅 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑅))
24 3nn 11378 . . . . 5 3 ∈ ℕ
25 cxpeq 24697 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴↑3) = 1 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(3 − 1))𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛))))
2624, 2, 25mp3an23 1565 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑3) = 1 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(3 − 1))𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛))))
27 eltpg 4371 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ {1, ((-1 + (i · (√‘3))) / 2), ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)} ↔ (𝐴 = 1 ∨ 𝐴 = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∨ 𝐴 = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2))))
281eleq2i 2831 . . . . 5 (𝐴𝑅𝐴 ∈ {1, ((-1 + (i · (√‘3))) / 2), ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)})
29 3m1e2 11329 . . . . . . . . . 10 (3 − 1) = 2
30 2cn 11283 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
3130addid2i 10416 . . . . . . . . . 10 (0 + 2) = 2
3229, 31eqtr4i 2785 . . . . . . . . 9 (3 − 1) = (0 + 2)
3332oveq2i 6824 . . . . . . . 8 (0...(3 − 1)) = (0...(0 + 2))
34 0z 11580 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
35 fztp 12590 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)})
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)}
3733, 36eqtri 2782 . . . . . . 7 (0...(3 − 1)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)}
3837rexeqi 3282 . . . . . 6 (∃𝑛 ∈ (0...(3 − 1))𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ ∃𝑛 ∈ {0, (0 + 1), (0 + 2)}𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)))
39 3ne0 11307 . . . . . . . . . . 11 3 ≠ 0
405, 39reccli 10947 . . . . . . . . . 10 (1 / 3) ∈ ℂ
41 1cxp 24617 . . . . . . . . . 10 ((1 / 3) ∈ ℂ → (1↑𝑐(1 / 3)) = 1)
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (1↑𝑐(1 / 3)) = 1
4342oveq1i 6823 . . . . . . . 8 ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛))
4443eqeq2i 2772 . . . . . . 7 (𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ 𝐴 = (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)))
4544rexbii 3179 . . . . . 6 (∃𝑛 ∈ {0, (0 + 1), (0 + 2)}𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ ∃𝑛 ∈ {0, (0 + 1), (0 + 2)}𝐴 = (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)))
4634elexi 3353 . . . . . . 7 0 ∈ V
47 ovex 6841 . . . . . . 7 (0 + 1) ∈ V
48 ovex 6841 . . . . . . 7 (0 + 2) ∈ V
49 oveq2 6821 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 0 → ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛) = ((-1↑𝑐(2 / 3))↑0))
5030, 5, 39divcli 10959 . . . . . . . . . . . . 13 (2 / 3) ∈ ℂ
51 cxpcl 24619 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 ∈ ℂ ∧ (2 / 3) ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ)
523, 50, 51mp2an 710 . . . . . . . . . . . 12 (-1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ
53 exp0 13058 . . . . . . . . . . . 12 ((-1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ → ((-1↑𝑐(2 / 3))↑0) = 1)
5452, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((-1↑𝑐(2 / 3))↑0) = 1
5549, 54syl6eq 2810 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 0 → ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛) = 1)
5655oveq2d 6829 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 0 → (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = (1 · 1))
57 1t1e1 11367 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
5856, 57syl6eq 2810 . . . . . . . 8 (𝑛 = 0 → (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = 1)
5958eqeq2d 2770 . . . . . . 7 (𝑛 = 0 → (𝐴 = (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ 𝐴 = 1))
60 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (0 + 1) → 𝑛 = (0 + 1))
612addid2i 10416 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 1) = 1
6260, 61syl6eq 2810 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (0 + 1) → 𝑛 = 1)
6362oveq2d 6829 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (0 + 1) → ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛) = ((-1↑𝑐(2 / 3))↑1))
64 exp1 13060 . . . . . . . . . . . 12 ((-1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ → ((-1↑𝑐(2 / 3))↑1) = (-1↑𝑐(2 / 3)))
6552, 64ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((-1↑𝑐(2 / 3))↑1) = (-1↑𝑐(2 / 3))
6663, 65syl6eq 2810 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (0 + 1) → ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛) = (-1↑𝑐(2 / 3)))
6766oveq2d 6829 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (0 + 1) → (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = (1 · (-1↑𝑐(2 / 3))))
6852mulid2i 10235 . . . . . . . . . 10 (1 · (-1↑𝑐(2 / 3))) = (-1↑𝑐(2 / 3))
69 1cubrlem 24767 . . . . . . . . . . 11 ((-1↑𝑐(2 / 3)) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∧ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2))
7069simpli 476 . . . . . . . . . 10 (-1↑𝑐(2 / 3)) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2)
7168, 70eqtri 2782 . . . . . . . . 9 (1 · (-1↑𝑐(2 / 3))) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2)
7267, 71syl6eq 2810 . . . . . . . 8 (𝑛 = (0 + 1) → (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2))
7372eqeq2d 2770 . . . . . . 7 (𝑛 = (0 + 1) → (𝐴 = (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ 𝐴 = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2)))
74 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (0 + 2) → 𝑛 = (0 + 2))
7574, 31syl6eq 2810 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (0 + 2) → 𝑛 = 2)
7675oveq2d 6829 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (0 + 2) → ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛) = ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2))
7776oveq2d 6829 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (0 + 2) → (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2)))
7852sqcli 13138 . . . . . . . . . . 11 ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2) ∈ ℂ
7978mulid2i 10235 . . . . . . . . . 10 (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2)) = ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2)
8069simpri 481 . . . . . . . . . 10 ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)
8179, 80eqtri 2782 . . . . . . . . 9 (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2)) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)
8277, 81syl6eq 2810 . . . . . . . 8 (𝑛 = (0 + 2) → (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2))
8382eqeq2d 2770 . . . . . . 7 (𝑛 = (0 + 2) → (𝐴 = (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ 𝐴 = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)))
8446, 47, 48, 59, 73, 83rextp 4385 . . . . . 6 (∃𝑛 ∈ {0, (0 + 1), (0 + 2)}𝐴 = (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ (𝐴 = 1 ∨ 𝐴 = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∨ 𝐴 = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)))
8538, 45, 843bitri 286 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ (0...(3 − 1))𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ (𝐴 = 1 ∨ 𝐴 = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∨ 𝐴 = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)))
8627, 28, 853bitr4g 303 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴𝑅 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(3 − 1))𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛))))
8726, 86bitr4d 271 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑3) = 1 ↔ 𝐴𝑅))
8887pm5.32i 672 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑3) = 1) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑅))
8923, 88bitr4i 267 1 (𝐴𝑅 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑3) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383  w3o 1071  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wrex 3051  wss 3715  {ctp 4325  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  0cc0 10128  1c1 10129  ici 10130   + caddc 10131   · cmul 10133  cmin 10458  -cneg 10459   / cdiv 10876  cn 11212  2c2 11262  3c3 11263  cz 11569  ...cfz 12519  cexp 13054  csqrt 14172  𝑐ccxp 24501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-shft 14006  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-ef 14997  df-sin 14999  df-cos 15000  df-pi 15002  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-cncf 22882  df-limc 23829  df-dv 23830  df-log 24502  df-cxp 24503
This theorem is referenced by:  cubic  24775
  Copyright terms: Public domain W3C validator