Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1arith2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1arith2 15839
 Description: Fundamental theorem of arithmetic, where a prime factorization is represented as a finite monotonic 1-based sequence of primes. Every positive integer has a unique prime factorization. Theorem 1.10 in [ApostolNT] p. 17. This is Metamath 100 proof #80. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
1arith.1 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
1arith.2 𝑅 = {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 ℙ) ∣ (𝑒 “ ℕ) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
1arith2 𝑧 ∈ ℕ ∃!𝑔𝑅 (𝑀𝑧) = 𝑔
Distinct variable groups:   𝑒,𝑔,𝑛,𝑝,𝑧   𝑒,𝑀,𝑔   𝑅,𝑔,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑧,𝑒,𝑝)   𝑀(𝑧,𝑛,𝑝)

Proof of Theorem 1arith2
StepHypRef Expression
1 1arith.1 . . . . . 6 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
2 1arith.2 . . . . . 6 𝑅 = {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 ℙ) ∣ (𝑒 “ ℕ) ∈ Fin}
31, 21arith 15838 . . . . 5 𝑀:ℕ–1-1-onto𝑅
4 f1ocnv 6290 . . . . 5 (𝑀:ℕ–1-1-onto𝑅𝑀:𝑅1-1-onto→ℕ)
53, 4ax-mp 5 . . . 4 𝑀:𝑅1-1-onto→ℕ
6 f1ofveu 6788 . . . 4 ((𝑀:𝑅1-1-onto→ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ∃!𝑔𝑅 (𝑀𝑔) = 𝑧)
75, 6mpan 670 . . 3 (𝑧 ∈ ℕ → ∃!𝑔𝑅 (𝑀𝑔) = 𝑧)
8 f1ocnvfvb 6678 . . . . 5 ((𝑀:ℕ–1-1-onto𝑅𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑔𝑅) → ((𝑀𝑧) = 𝑔 ↔ (𝑀𝑔) = 𝑧))
93, 8mp3an1 1559 . . . 4 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑔𝑅) → ((𝑀𝑧) = 𝑔 ↔ (𝑀𝑔) = 𝑧))
109reubidva 3274 . . 3 (𝑧 ∈ ℕ → (∃!𝑔𝑅 (𝑀𝑧) = 𝑔 ↔ ∃!𝑔𝑅 (𝑀𝑔) = 𝑧))
117, 10mpbird 247 . 2 (𝑧 ∈ ℕ → ∃!𝑔𝑅 (𝑀𝑧) = 𝑔)
1211rgen 3071 1 𝑧 ∈ ℕ ∃!𝑔𝑅 (𝑀𝑧) = 𝑔
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  ∃!wreu 3063  {crab 3065   ↦ cmpt 4863  ◡ccnv 5248   “ cima 5252  –1-1-onto→wf1o 6030  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793   ↑𝑚 cmap 8009  Fincfn 8109  ℕcn 11222  ℕ0cn0 11494  ℙcprime 15592   pCnt cpc 15748 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-dvds 15190  df-gcd 15425  df-prm 15593  df-pc 15749 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator