Theorem 19prm 16047

Description: 19 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
19prm	⊢ ;19 ∈ ℙ

Proof of Theorem 19prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 11520	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		9nn 11404	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 11730	. 2 ⊢ ;19 ∈ ℕ
4		1nn 11243	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		9nn0 11528	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
6		1lt10 11893	. . 3 ⊢ 1 < ;10
7	4, 5, 1, 6	declti 11758	. 2 ⊢ 1 < ;19
8		4nn0 11523	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
9		4t2e8 11393	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
10		df-9 11298	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
11	1, 8, 9, 10	dec2dvds 15989	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;19
12		3nn 11398	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
13		6nn0 11525	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14		8nn0 11527	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
15		8p1e9 11370	. . . 4 ⊢ (8 + 1) = 9
16		6cn 11314	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
17		3cn 11307	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
18		6t3e18 11854	. . . . 5 ⊢ (6 · 3) = ;18
19	16, 17, 18	mulcomli 10259	. . . 4 ⊢ (3 · 6) = ;18
20	1, 14, 15, 19	decsuc 11747	. . 3 ⊢ ((3 · 6) + 1) = ;19
21		1lt3 11408	. . 3 ⊢ 1 < 3
22	12, 13, 4, 20, 21	ndvdsi 15358	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;19
23		2nn0 11521	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24		5nn0 11524	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
25		9lt10 11885	. . 3 ⊢ 9 < ;10
26		1lt2 11406	. . 3 ⊢ 1 < 2
27	1, 23, 5, 24, 25, 26	decltc 11744	. 2 ⊢ ;19 < ;25
28	3, 7, 11, 22, 27	prmlem1 16036	1 ⊢ ;19 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2139  (class class class)co 6814  1c1 10149   · cmul 10153  2c2 11282  3c3 11283  4c4 11284  5c5 11285  6c6 11286  8c8 11288  9c9 11289  ;cdc 11705  ℙcprime 15607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-rp 12046  df-fz 12540  df-seq 13016  df-exp 13075  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-dvds 15203  df-prm 15608

This theorem is referenced by:  2503lem3  16068